Проверка существования треугольника при пересечении параллельных прямых: карточки с ответами, 7 класс

7 класс · рабочий лист для печати. Формулировку о «пересечении параллельных прямых» нужно понимать аккуратно: две различные параллельные прямые друг с другом не пересекаются. Их могут пересекать секущие. В карточках мы строим основание на нижней прямой, вершину на верхней, а стороны AC и BC рассматриваем как части секущих.

Памятка перед двумя вариантами

Пусть l: y=0 и m: y=h, где h>0. Точки A(a;0) и B(b;0) лежат на l, вершина C(c;h) — на m. Если a≠b, то AB — ненулевой отрезок, а C лежит вне прямой AB; получается настоящий треугольник. Если a=b, основание сжимается в точку и треугольника нет. Если h=0, прямые совпадают: это уже не модель двух различных параллельных прямых, а все точки оказываются коллинеарны.

Площадь при существовании фигуры находят без диагональных длин: S=|b−a|·h/2. Это обычная формула «половина произведения основания на высоту». Здесь h измеряется в клетках; единица площади — квадратная клетка. Координата c отвечает за наклон секущих и не меняет высоту или площадь.

Схема условная, не в масштабе:

m:  ─────────── C ● ───────────
                  / \
                 /   \
l:  ───── A ● ───────── ● B ───
        секущие AC и BC,   l ∥ m

Вариант I — проверьте возможность построения

1. На прямых l: y=0 и m: y=4 заданы A(-3;0), B(5;0), C(1;4). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.
2. На прямых l: y=0 и m: y=6 заданы A(0;0), B(7;0), C(3;6). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.
3. На прямых l: y=0 и m: y=5 заданы A(2;0), B(2;0), C(7;5). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.
4. На прямых l: y=0 и m: y=0 заданы A(-4;0), B(4;0), C(-1;0). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.
5. На прямых l: y=0 и m: y=3 заданы A(1;0), B(9;0), C(4;3). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.
6. На прямых l: y=0 и m: y=7 заданы A(-5;0), B(1;0), C(9;7). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.
7. На прямых l: y=0 и m: y=4 заданы A(6;0), B(0;0), C(2;4). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.
8. На прямых l: y=0 и m: y=2 заданы A(2;0), B(8;0), C(6;2). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие.

Для каждой карточки укажите три пункта: не совпали ли A и B; лежит ли C вне прямой AB; какая длина основания и высота. Если задача противоречит условию о параллельных прямых, не придумывайте фигуру и запишите причину.

Вариант II — найдите ошибки в выводах по координатам

1. На прямых l: y=0 и m: y=8 заданы A(4;0), B(11;0), C(7;8). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик указал площадь 29 клеточных единиц². Проверьте его вычисление.
2. На прямых l: y=0 и m: y=3 заданы A(-7;0), B(-1;0), C(-5;3). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик указал площадь 9 клеточных единиц². Проверьте его вычисление.
3. На прямых l: y=0 и m: y=6 заданы A(3;0), B(3;0), C(1;6). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик утверждает, что треугольник существует. Найдите ошибку.
4. На прямых l: y=0 и m: y=0 заданы A(2;0), B(12;0), C(4;0). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик утверждает, что треугольник существует. Найдите ошибку.
5. На прямых l: y=0 и m: y=5 заданы A(-2;0), B(9;0), C(-3;5). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик указал площадь 28,5 клеточных единиц². Проверьте его вычисление.
6. На прямых l: y=0 и m: y=4 заданы A(0;0), B(5;0), C(8;4). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик указал площадь 10 клеточных единиц². Проверьте его вычисление.
7. На прямых l: y=0 и m: y=2 заданы A(-3;0), B(3;0), C(0;2). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик указал площадь 7 клеточных единиц². Проверьте его вычисление.
8. На прямых l: y=0 и m: y=7 заданы A(9;0), B(4;0), C(6;7). Две секущие проходят через пары A,C и B,C. Существует ли треугольник ABC? Если да, найдите площадь; если нет, объясните препятствие. Ученик указал площадь 17,5 клеточных единиц². Проверьте его вычисление.

Полезная ловушка: некоторые ученики пытаются вычислить «точку пересечения параллельных» l и m. Её не существует при h>0. Но треугольник ABC существует, поскольку его две стороны лежат на секущих, а третья соединяет разные точки нижней прямой. Разница между пересечением прямых и их пересечением секущей принципиальна.

Ключ учителя по обеим вариантам

1. № 1. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|5−(-3)|=8, расстояние до верхней прямой h=4; площадь 16 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны.
2. № 2. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|7−(0)|=7, расстояние до верхней прямой h=6; площадь 21 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны.
3. № 3. Треугольника нет: A и B совпадают в точке (2;0), основание AB равно 0; никакая точка C не исправит это.
4. № 4. Треугольника заданной конструкции нет: h=0, поэтому m совпадает с l, условие о двух различных параллельных прямых нарушено. Все три точки лежат на y=0.
5. № 5. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|9−(1)|=8, расстояние до верхней прямой h=3; площадь 12 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны.
6. № 6. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|1−(-5)|=6, расстояние до верхней прямой h=7; площадь 21 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны.
7. № 7. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|0−(6)|=6, расстояние до верхней прямой h=4; площадь 12 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны.
8. № 8. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|8−(2)|=6, расстояние до верхней прямой h=2; площадь 6 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны.
9. № 9. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|11−(4)|=7, расстояние до верхней прямой h=8; площадь 28 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны. Ученик ошибся: площадь не 29.
10. № 10. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|-1−(-7)|=6, расстояние до верхней прямой h=3; площадь 9 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны. Ученик верно нашёл площадь.
11. № 11. Треугольника нет: A и B совпадают в точке (3;0), основание AB равно 0; никакая точка C не исправит это. Вывод ученика о существовании фигуры неверен.
12. № 12. Треугольника заданной конструкции нет: h=0, поэтому m совпадает с l, условие о двух различных параллельных прямых нарушено. Все три точки лежат на y=0. Вывод ученика о существовании фигуры неверен.
13. № 13. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|9−(-2)|=11, расстояние до верхней прямой h=5; площадь 27,5 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны. Ученик ошибся: площадь не 28,5.
14. № 14. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|5−(0)|=5, расстояние до верхней прямой h=4; площадь 10 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны. Ученик верно нашёл площадь.
15. № 15. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|3−(-3)|=6, расстояние до верхней прямой h=2; площадь 6 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны. Ученик ошибся: площадь не 7.
16. № 16. Есть невырожденный треугольник: основание AB=|4−(9)|=5, расстояние до верхней прямой h=7; площадь 17,5 клеточных единиц². Секущие AC и BC задают стороны. Ученик верно нашёл площадь.

Для итоговой проверки сравните два независимых способа: по координатам проверяем a≠b и h>0; по чертежу выясняем, что три вершины не лежат на одной прямой. Величина площади должна быть положительной. Нулевая площадь указывает на вырождение фигуры или некорректность заданной конструкции.