Проверка существования треугольника по текстовому описанию чертежа — диагностика ошибок, 7 класс

7 класс · исследование описания чертежа. Здесь нужно понять, может ли существовать треугольник, если текст одновременно задаёт стороны, углы или расположение вершин. Не достаточно проверить только неравенство треугольника: неверная подпись угла, коллинеарность или противоречивый порядок сторон тоже могут сделать рисунок невозможным.

Наблюдение: что может скрывать аккуратный рисунок?

Предположим, что подписаны длины AB=4, BC=6, AC=10. На красивом схематическом рисунке видно три отрезка, однако 4+6=10. Такой треугольник не существует. Именно поэтому задания ниже предлагают доверять числовым условиям и строгим признакам, а не внешнему виду условного эскиза.

Первый этап — сформулируйте правило из четырёх наблюдений

1. По описанию AB=4 см, BC=6 см, AC=10 см. Ученик говорит: «сумма двух сторон не меньше третьей, значит, чертёж возможен».
2. AB=8 см, BC=9 см, AC=12 см, вершины объявлены не лежащими на одной прямой. Можно построить?
3. A,B,C лежат на одной прямой в таком порядке; AB=5 см, BC=7 см, AC=12 см. Изображена ли фигура ABC как треугольник?
4. AB=5, BC=11, AC=5 см. Автор эскиза нарисовал большой угол при B. Возможен ли хотя бы треугольник?

Сформулируйте проверку в собственных словах: самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух остальных; при коллинеарности невырожденного треугольника не получится; указанные углы должны лежать между 0° и 180° и суммироваться в 180°. Если даны равные стороны или их порядок, проверьте соответствующие углы.

Второй этап — контрпримеры к неверным подписям

1. AB=6, BC=7, AC=8 см. На эскизе угол A указан 0°. Может ли рисунок быть верным?
2. AB=3, BC=4, AC=5 см, причём AB перпендикулярен BC. Согласованы ли описание и стороны?
3. AB=5, BC=5, AC=8 см; в описании ∠A=∠C. Согласованы ли данные?
4. AB=7, BC=7, AC=10 см; написано ∠A>∠C. Проверьте согласованность.
5. AB=9 см, BC=10 см, AC=12 см; условие говорит, что все три вершины находятся на прямой l.

Не путайте возможность построить треугольник по одним длинам и возможность реализовать весь набор условий одновременно. Например, длины могут удовлетворять неравенству, но дополнительное требование «все точки на одной прямой» немедленно исключает треугольник. В обратную сторону тоже нельзя: правдоподобные углы не спасают невозможные длины.

Третий этап — примените правило к новому описанию

1. AB=4 см, BC=5 см, AC=8 см. Эскиз помечает ∠B=180°. Возможен ли такой рисунок?
2. AB=9, BC=9, AC=14 см; условие требует ∠A=∠C. Есть ли противоречие?
3. AB=6, BC=8, AC=10 см, ∠B=90°. Объясните, достаточно ли данных.
4. AB=5, BC=6, AC=7 см; ученик указал ∠A=110° и ∠B=80°. Может ли это быть треугольник?
5. AB=12, BC=5, AC=8 см. Утверждается, что угол C самый маленький. Согласованы ли данные?

Почему одних длин иногда недостаточно

Если три длины удовлетворяют всем строгим неравенствам, то существует треугольник с такими длинами. Но это ещё не доказывает, что существовал именно тот чертёж, который описал автор: на нём может быть задан угол 0°, прямая через все три вершины или неверный порядок сторон. В задаче 9 длины подходят по отдельности, однако требование коллинеарности невозможно выполнить. Так ученик учится отличать существование треугольника с заданными сторонами от выполнимости всей системы геометрических условий.

Ещё один способ выявлять противоречие — сопоставить стороны и противоположные им углы. В треугольнике ABC сторона AB лежит напротив угла C, сторона BC — напротив угла A, а сторона AC — напротив угла B. Если AB=BC, то углы C и A равны. Если сторона AB самая длинная, то угол C самый большой. Нельзя судить об этом по случайному масштабу рисунка. Это важно в заданиях 7, 8, 11 и 14: именно порядок сторон и углов решает вопрос.

Самостоятельная проверка доказательства

Правильный ответ должен указывать не только «да» или «нет», но и геометрическую причину. Например, выражение «на рисунке не похоже на треугольник» не является доказательством. Вместо этого напишите «5+5<11, следовательно, длины противоречат неравенству треугольника» или «угол A равен нулю, поэтому вершины не образуют невырожденного треугольника». Для положительного ответа проверяйте каждое существенное требование: стороны, углы и положение точек; отсутствующие данные не подставляйте из воображаемого чертежа.

Разбор всех четырнадцати заданий

1. Ошибка: нужна строгая сумма 4+6>10, но здесь равенство. Невырожденного треугольника нет.
2. Да: 8+9>12; остальные суммы заведомо больше. Три такие длины дают треугольник.
3. Нет, точки коллинеарны: AB+BC=AC, угол при B развернутый.
4. Нет, 5+5<11. Эскиз не исправляет противоречащие длины.
5. Нет: угол 0° означает совпадающие лучи из A; невырожденный треугольник невозможен. При заданных сторонах угол A должен быть строго между 0° и 180°.
6. Да: 3²+4²=5², прямой угол при B возможен.
7. Да: AB=BC=5, следовательно противоположные углы C и A равны. Также 5+5>8, значит, невырожденный треугольник возможен.
8. Нет: равные стороны AB=BC дают равные противоположные углы C и A, поэтому строгое неравенство невозможно.
9. Нет: на одной прямой треугольника не образуется; расстояния 9, 10 и 12 даже не могут принадлежать трём коллинеарным точкам, так как ни одна длина не равна сумме двух остальных.
10. Нет: при развёрнутом угле B вершины коллинеарны, а 4+5>8 означает невырожденный треугольник, которому такой угол не соответствует.
11. Нет: AB=BC, поэтому углы напротив них, ∠C и ∠A, равны. Условие 9+9>14 тоже выполнено.
12. Да: AB²+BC²=36+64=100=AC². Стороны образуют прямоугольный треугольник с прямым углом при B.
13. Нет: уже 110°+80°=190°>180°. Длины по отдельности допустимы, но условия на углы противоречат сумме углов.
14. Нет: угол C лежит напротив AB=12 — самой длинной стороны, поэтому он должен быть самым большим; треугольник по длинам существует (5+8>12).

Алгоритм чтения текстового чертежа: выпишите длины отдельно, углы отдельно, положение точек отдельно; проверьте каждую группу; затем проверьте их взаимную согласованность. Если условие противоречиво, называйте именно нарушенное требование, а не ограничивайтесь ответом «нет». Если противоречий нет, поясните, какие признаки позволяют построить такую фигуру.