Поиск ошибки в утверждении с двумя парами параллельных прямых: самостоятельная работа, 7 класс

Цель: распознавать ошибочные выводы для четырёх точек пересечения двух семейств параллельных прямых; проверять доказательство обратным подстановочным действием.

Через плоскость проведены a ∥ b и c ∥ d. Их четыре пересечения назовём P = a∩c, Q = a∩d, R = b∩c, S = b∩d. В каждом перекрестии угол α занимает одинаковое относительное положение между лучами первого и второго семейств, β ему смежен, γ вертикален α, δ вертикален β. Все α здесь равны между собой, все β равны между собой, но α и β в общем случае не равны.

Разобранный пример и обратная проверка

Пусть ∠αP = 73°. Тогда ∠γS = 73°, ∠βQ = 107°, ∠δR = 107°. Ошибочная фраза «∠βQ = ∠γS, потому что линии параллельны» неверна: 107° ≠ 73°. Обратная проверка: 73° + 107° = 180°, значит значения отвечают смежности.

Если бы второе семейство линий не было параллельным, перенос измерения из P в S уже нельзя было бы применять: одного условия a ∥ b недостаточно. Это принципиально для самостоятельной проверки.

Полезный способ не ошибиться — выбрать в каждой точке один и тот же ориентир. Например, от луча линии a (или b) в направлении вправо переходить к одному и тому же направлению луча c (или d). Если же в точке Q ученик смотрит в противоположный сектор, в его записи уже не соответственный угол, а смежный. Так возникает типичная ложная цепочка, хотя обе пары прямых остаются параллельными.

Обратная проверка выполняется в два действия. Сначала решаем уравнение для α и β как для пары с суммой 180°. Затем подставляем x в исходные выражения и проверяем, что вертикальные углы в каждом перекрестии имеют ту же величину, а остальные — дополнительную. Подстановка только в одно исходное выражение недостаточна: она не подтверждает второе условие.

Особенно важно рассматривать не только острые углы. Если α больше 90°, то β меньше 90°, а связи между четырьмя пересечениями сохраняются. Не следует доказывать равенство углов на основании того, что оба выглядят острыми: разные острые углы тоже могут отличаться по величине.

Самостоятельные ситуации: два семейства линий

1. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 50)°, ∠βS = (2x + 114)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP = γS». В ответе назови угол ∠γR.
2. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 51)°, ∠βS = (1x + 109)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP = βR». В ответе назови угол ∠γR.
3. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 62)°, ∠βS = (1x + 100)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «βQ = δS». В ответе назови угол ∠γR.
4. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 61)°, ∠βS = (2x + 84)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αQ + δR = 180°». В ответе назови угол ∠γR.
5. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 81)°, ∠βS = (1x + 75)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «γP = βS». В ответе назови угол ∠γR.
6. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 76)°, ∠βS = (1x + 68)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP + αS = 180°». В ответе назови угол ∠γR.
7. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 41)°, ∠βS = (2x + 99)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP = γS». В ответе назови угол ∠γR.
8. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 38)°, ∠βS = (1x + 98)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP = βR». В ответе назови угол ∠γR.
9. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 55)°, ∠βS = (1x + 89)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «βQ = δS». В ответе назови угол ∠γR.
10. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 76)°, ∠βS = (2x + 84)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αQ + δR = 180°». В ответе назови угол ∠γR.
11. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 99)°, ∠βS = (1x + 66)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «γP = βS». В ответе назови угол ∠γR.
12. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 99)°, ∠βS = (1x + 57)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP + αS = 180°». В ответе назови угол ∠γR.
13. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 49)°, ∠βS = (2x + 103)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP = γS». В ответе назови угол ∠γR.
14. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 53)°, ∠βS = (1x + 95)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αP = βR». В ответе назови угол ∠γR.
15. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (2x + 76)°, ∠βS = (1x + 77)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «βQ = δS». В ответе назови угол ∠γR.
16. На схеме P,Q,R,S задано ∠αP = (3x + 82)°, ∠βS = (2x + 48)°. Найди x из условия смежности, затем проверь фразу «αQ + δR = 180°». В ответе назови угол ∠γR.

Ключ с обратной проверкой

1. 2x + 50 + 2x + 114 = 180 ⇒ x = 4. ∠αP = ∠γR = 58°, ∠βS = 122°. Фраза «αP = γS» — верная: это вертикально-соответственные углы. Обратно: 58 + 122 = 180.
2. 3x + 51 + 1x + 109 = 180 ⇒ x = 5. ∠αP = ∠γR = 66°, ∠βS = 114°. Фраза «αP = βR» — ошибочная: α и β — смежные и при заданном значении не равны. Обратно: 66 + 114 = 180.
3. 2x + 62 + 1x + 100 = 180 ⇒ x = 6. ∠αP = ∠γR = 74°, ∠βS = 106°. Фраза «βQ = δS» — верная: вертикальные и соответственные величины. Обратно: 74 + 106 = 180.
4. 3x + 61 + 2x + 84 = 180 ⇒ x = 7. ∠αP = ∠γR = 82°, ∠βS = 98°. Фраза «αQ + δR = 180°» — верная: альфа и дельта дополнительны. Обратно: 82 + 98 = 180.
5. 2x + 81 + 1x + 75 = 180 ⇒ x = 8. ∠αP = ∠γR = 97°, ∠βS = 83°. Фраза «γP = βS» — ошибочная: гамма равна альфе, а бета дополнительна. Обратно: 97 + 83 = 180.
6. 3x + 76 + 1x + 68 = 180 ⇒ x = 9. ∠αP = ∠γR = 103°, ∠βS = 77°. Фраза «αP + αS = 180°» — ошибочная: обе альфы равны, но их сумма не 180°. Обратно: 103 + 77 = 180.
7. 2x + 41 + 2x + 99 = 180 ⇒ x = 10. ∠αP = ∠γR = 61°, ∠βS = 119°. Фраза «αP = γS» — верная: это вертикально-соответственные углы. Обратно: 61 + 119 = 180.
8. 3x + 38 + 1x + 98 = 180 ⇒ x = 11. ∠αP = ∠γR = 71°, ∠βS = 109°. Фраза «αP = βR» — ошибочная: α и β — смежные и при заданном значении не равны. Обратно: 71 + 109 = 180.
9. 2x + 55 + 1x + 89 = 180 ⇒ x = 12. ∠αP = ∠γR = 79°, ∠βS = 101°. Фраза «βQ = δS» — верная: вертикальные и соответственные величины. Обратно: 79 + 101 = 180.
10. 3x + 76 + 2x + 84 = 180 ⇒ x = 4. ∠αP = ∠γR = 88°, ∠βS = 92°. Фраза «αQ + δR = 180°» — верная: альфа и дельта дополнительны. Обратно: 88 + 92 = 180.
11. 2x + 99 + 1x + 66 = 180 ⇒ x = 5. ∠αP = ∠γR = 109°, ∠βS = 71°. Фраза «γP = βS» — ошибочная: гамма равна альфе, а бета дополнительна. Обратно: 109 + 71 = 180.
12. 3x + 99 + 1x + 57 = 180 ⇒ x = 6. ∠αP = ∠γR = 117°, ∠βS = 63°. Фраза «αP + αS = 180°» — ошибочная: обе альфы равны, но их сумма не 180°. Обратно: 117 + 63 = 180.
13. 2x + 49 + 2x + 103 = 180 ⇒ x = 7. ∠αP = ∠γR = 63°, ∠βS = 117°. Фраза «αP = γS» — верная: это вертикально-соответственные углы. Обратно: 63 + 117 = 180.
14. 3x + 53 + 1x + 95 = 180 ⇒ x = 8. ∠αP = ∠γR = 77°, ∠βS = 103°. Фраза «αP = βR» — ошибочная: α и β — смежные и при заданном значении не равны. Обратно: 77 + 103 = 180.
15. 2x + 76 + 1x + 77 = 180 ⇒ x = 9. ∠αP = ∠γR = 94°, ∠βS = 86°. Фраза «βQ = δS» — верная: вертикальные и соответственные величины. Обратно: 94 + 86 = 180.
16. 3x + 82 + 2x + 48 = 180 ⇒ x = 10. ∠αP = ∠γR = 112°, ∠βS = 68°. Фраза «αQ + δR = 180°» — верная: альфа и дельта дополнительны. Обратно: 112 + 68 = 180.

Что изменится при ослаблении условия?

Если оставить лишь a ∥ b, а c и d пересечь под разными наклонами, угол в P и угол в S может оказаться разным. Отсюда правило проверки условия: перед тем как переносить величину через четыре перекрестия, следует явно убедиться, что параллельны оба семейства. Само изображение «похоже на параллелограмм» доказательством не служит.

Проверка: Для всех шестнадцати задач значения x определены через сумму смежных углов и обратно дают ровно 180°.