Составление цепочки равных углов для секущей с наклонными отрезками — задания с разбором, 7 класс

Цель: отличать одну прямую секущую от ломаной линии, объяснять цепочки равных углов для наклонных отрезков и находить ошибки переноса величин.

На листе проведены параллельные линии r и s. В обычном случае наклонные отрезки PP₁ и QQ₁ лежат на одной прямой t, пересекающей обе линии в P и Q; тогда их продолжения образуют одну секущую. Под αP, αQ понимаем соответственные углы, под γP, γQ — их вертикальные, под βP, βQ — смежные.

Задача-наблюдение

Если αP = 59°, а отрезки лежат на одной секущей, то αQ = γP = γQ = 59°. Угол βQ составляет 121°. Если те же два нарисованных наклонных отрезка не коллинеарны, никакого основания приравнивать αP и αQ не останется — даже если они нарисованы похожими.

Правило и контрпример

Для цепочки αP = γP = αQ = γQ достаточно двух фактов: r ∥ s и P,Q лежат на одной прямой t, пересекающей обе параллельные. Первый переход следует из вертикальных углов, второй — из соответственных. Контрпример: одна наклонная прямая образует с r угол 55°, другая с s угол 72°. Отрезки могут соединяться концами как ломаная, но углы не обязаны совпадать.

Пример проверки направлений: пусть в P угол αP равен 128°, а в Q угол βQ равен 52°. Эти значения согласованы, если оба перекрестия образованы одной прямой секущей, так как 128° + 52° = 180°. Если αQ в том же положении равен 52°, налицо ошибка: соответственный αQ обязан равняться 128°, а 52° должен быть подписан возле смежного сектора.

При работе с наклонными отрезками не нужно измерять их длины. Равенство углов зависит от направления прямых и положения лучей, а не от того, насколько длинен нарисованный отрезок. Даже отрезок длиной один сантиметр, продолженный до второй параллельной, образует ту же секущую. И наоборот, два длинных отрезка, составляющих заметный излом, не становятся одной секущей от увеличения длины.

Для строгости обозначай не только вершину, но и направление лучей. Слова «наклонён вправо» недостаточно: разные прямые, обе наклонённые вправо, могут образовывать разные углы с горизонтальной прямой. Уточнение «лежит на той же прямой t» — проверяемое условие, которого нет у ломаной.

Новые данные: проверь цепочку в каждом случае

1. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 47°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
2. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 65°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
3. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 79°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
4. Две наклонные части составляют ломаную, а не единую секущую. Первая образует соответствующий угол 102° с r, вторая — 113° с s. Ученик записал цепочку αP = γP = αQ = γQ. Найди ошибку и укажи, какая часть цепочки остаётся верной.
5. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 116°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
6. Известно, что r ∥ s и наклонные части лежат на общей прямой; угол βP = 127°. Восстанови соответствующий угол αQ, докажи цепочку его равных углов и вычисли γP.
7. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 88°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
8. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 131°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
9. Две наклонные части составляют ломаную, а не единую секущую. Первая образует соответствующий угол 72° с r, вторая — 83° с s. Ученик записал цепочку αP = γP = αQ = γQ. Найди ошибку и укажи, какая часть цепочки остаётся верной.
10. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 94°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
11. Известно, что r ∥ s и наклонные части лежат на общей прямой; угол βP = 72°. Восстанови соответствующий угол αQ, докажи цепочку его равных углов и вычисли γP.
12. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 61°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.
13. Две наклонные части составляют ломаную, а не единую секущую. Первая образует соответствующий угол 124° с r, вторая — 110° с s. Ученик записал цепочку αP = γP = αQ = γQ. Найди ошибку и укажи, какая часть цепочки остаётся верной.
14. Наклонные отрезки — части одной прямой секущей t, r ∥ s, угол αP = 83°. Запиши цепочку до γQ, найди βQ и объясни, где применено условие параллельности.

Решения и границы применения правила

1. αP = γP = αQ = γQ = 47°, βQ = 180° − 47° = 133°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
2. αP = γP = αQ = γQ = 65°, βQ = 180° − 65° = 115°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
3. αP = γP = αQ = γQ = 79°, βQ = 180° − 79° = 101°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
4. Ошибка — перенос между разными секущими. Здесь αP = γP = 102°, а αQ = γQ = 113°. Можно приравнять вертикальные углы при каждом пересечении, но нельзя сделать общий переход P → Q.
5. αP = γP = αQ = γQ = 116°, βQ = 180° − 116° = 64°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
6. αP = 180° − 127° = 53°. По соответственности и вертикальности αP = γP = αQ = γQ = 53°. Углы βP и βQ равны 127°.
7. αP = γP = αQ = γQ = 88°, βQ = 180° − 88° = 92°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
8. αP = γP = αQ = γQ = 131°, βQ = 180° − 131° = 49°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
9. Ошибка — перенос между разными секущими. Здесь αP = γP = 72°, а αQ = γQ = 83°. Можно приравнять вертикальные углы при каждом пересечении, но нельзя сделать общий переход P → Q.
10. αP = γP = αQ = γQ = 94°, βQ = 180° − 94° = 86°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
11. αP = 180° − 72° = 108°. По соответственности и вертикальности αP = γP = αQ = γQ = 108°. Углы βP и βQ равны 72°.
12. αP = γP = αQ = γQ = 61°, βQ = 180° − 61° = 119°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.
13. Ошибка — перенос между разными секущими. Здесь αP = γP = 124°, а αQ = γQ = 110°. Можно приравнять вертикальные углы при каждом пересечении, но нельзя сделать общий переход P → Q.
14. αP = γP = αQ = γQ = 83°, βQ = 180° − 83° = 97°. Равенство αP = αQ следует из r ∥ s; остальные переходы объясняются вертикальными углами.

Самопроверка после исследования

Учащийся должен уметь ответить на три вопроса: «Какие именно два отрезка лежат на одной прямой?», «Где использовано условие параллельности?», «Какие углы смежные?». Если нет ответа на первый вопрос, цепочка между разными пересечениями недоказуема.

Проверка: В трёх контрпримерах общая цепочка намеренно невозможна: неверно подменять отсутствие условия числовым ответом. Во всех остальных задачах дополнительные углы в сумме дают 180°.