Восстановление коэффициента по данным в задаче о доставке груза — тематические карточки для 7 класса

Цель: по данным о доставке восстановить коэффициент при массе груза, проверить его единицу измерения и обосновать, когда ответ единственный.

Можно ли вычислить тариф по одной квитанции?

Экспедитор утверждает: «Если доставка 5 тонн обошлась в 870 ₸, значит одна тонна стоит 174 ₸». Верно ли это? Не всегда: в общую сумму может входить фиксированная плата за подачу автомобиля. Без знания этой платы нельзя отделить постоянную часть от переменной. Именно поэтому в задачах сначала выписывают модель и отмечают, какая информация известна.

При неизменном тарифе общая цена выражается формулой C(m) = F + km, где m — масса груза в тоннах, F — фиксированная плата в тенге, k — цена перевозки одной тонны в тенге за тонну. Например, при F = 270 ₸ и C(5) = 870 ₸ имеем 5k = 600, откуда k = 120 ₸/т. Проверка: 270 + 120 · 5 = 870 ₸.

Почему метод работает и какие данные нужны

Если масса m известна и больше нуля, а фиксированная часть F задана, единственный коэффициент равен (C − F) : m. Деление на m допустимо только при m ≠ 0. Когда известны две квитанции одной службы с массами m₁ и m₂, фиксированную часть можно исключить вычитанием: C₂ − C₁ = k(m₂ − m₁). Поэтому при разных массах k = (C₂ − C₁) : (m₂ − m₁). Не нужно сначала искать F.

Перед решением убедись, что масса указана в одинаковых единицах. Если C растёт при уменьшении массы в рамках одной и той же модели с положительным k, данные противоречат условию. Тариф, вычисленный по разности, должен давать одну и ту же фиксированную часть для обеих квитанций. Нельзя считать такой результат «цена за тонну» без этой проверки.

Карточки для обоснования: сначала реши, затем объясни

В задачах 1–8 значение k получают из одной квитанции, а в задачах 9–12 — через сравнение двух заказов. Обоснуй выбор действия: вычитание фиксированной части или вычитание двух полных стоимостей.

1. Карточка 1. За 3 т заплатили 456 ₸, включая подачу машины за 240 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
2. Карточка 2. За 4 т заплатили 705 ₸, включая подачу машины за 325 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
3. Карточка 3. За 6 т заплатили 930 ₸, включая подачу машины за 180 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
4. Карточка 4. За 7 т заплатили 796 ₸, включая подачу машины за 390 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
5. Карточка 5. За 5 т заплатили 625 ₸, включая подачу машины за 205 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
6. Карточка 6. За 8 т заплатили 991 ₸, включая подачу машины за 455 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
7. Карточка 7. За 9 т заплатили 1338 ₸, включая подачу машины за 150 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
8. Карточка 8. За 11 т заплатили 1026 ₸, включая подачу машины за 520 ₸. Найди коэффициент k. Почему нельзя сразу разделить общую стоимость на массу?
9. Карточка 9. Два рейса одной компании: 2 т стоят 427 ₸, а 7 т — 807 ₸. Подача машины одинакова, но её цена неизвестна. Восстанови k и затем F. Докажи единственность ответа.
10. Карточка 10. Два рейса одной компании: 3 т стоят 633 ₸, а 8 т — 1088 ₸. Подача машины одинакова, но её цена неизвестна. Восстанови k и затем F. Докажи единственность ответа.
11. Карточка 11. Два рейса одной компании: 4 т стоят 637 ₸, а 10 т — 1315 ₸. Подача машины одинакова, но её цена неизвестна. Восстанови k и затем F. Докажи единственность ответа.
12. Карточка 12. Два рейса одной компании: 5 т стоят 750 ₸, а 12 т — 1198 ₸. Подача машины одинакова, но её цена неизвестна. Восстанови k и затем F. Докажи единственность ответа.

Ключ с доказательством и подстановкой

1. 1. Переменная часть 456 − 240 = 216 ₸. Поэтому k = 216 : 3 = 72 ₸/т. Проверка: 240 + 72 · 3 = 456 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
2. 2. Переменная часть 705 − 325 = 380 ₸. Поэтому k = 380 : 4 = 95 ₸/т. Проверка: 325 + 95 · 4 = 705 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
3. 3. Переменная часть 930 − 180 = 750 ₸. Поэтому k = 750 : 6 = 125 ₸/т. Проверка: 180 + 125 · 6 = 930 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
4. 4. Переменная часть 796 − 390 = 406 ₸. Поэтому k = 406 : 7 = 58 ₸/т. Проверка: 390 + 58 · 7 = 796 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
5. 5. Переменная часть 625 − 205 = 420 ₸. Поэтому k = 420 : 5 = 84 ₸/т. Проверка: 205 + 84 · 5 = 625 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
6. 6. Переменная часть 991 − 455 = 536 ₸. Поэтому k = 536 : 8 = 67 ₸/т. Проверка: 455 + 67 · 8 = 991 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
7. 7. Переменная часть 1338 − 150 = 1188 ₸. Поэтому k = 1188 : 9 = 132 ₸/т. Проверка: 150 + 132 · 9 = 1338 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
8. 8. Переменная часть 1026 − 520 = 506 ₸. Поэтому k = 506 : 11 = 46 ₸/т. Проверка: 520 + 46 · 11 = 1026 ₸. Деление всей суммы на массу ошибочно учитывает плату за подачу как тариф.
9. 9. Разница сумм 807 − 427 = 380 ₸, масс 7 − 2 = 5 т, поэтому k = 380 : 5 = 76 ₸/т. F = 427 − 76 · 2 = 275 ₸. Для двух разных масс система линейных равенств даёт ровно одно k; подстановка во вторую квитанцию подтверждает F.
10. 10. Разница сумм 1088 − 633 = 455 ₸, масс 8 − 3 = 5 т, поэтому k = 455 : 5 = 91 ₸/т. F = 633 − 91 · 3 = 360 ₸. Для двух разных масс система линейных равенств даёт ровно одно k; подстановка во вторую квитанцию подтверждает F.
11. 11. Разница сумм 1315 − 637 = 678 ₸, масс 10 − 4 = 6 т, поэтому k = 678 : 6 = 113 ₸/т. F = 637 − 113 · 4 = 185 ₸. Для двух разных масс система линейных равенств даёт ровно одно k; подстановка во вторую квитанцию подтверждает F.
12. 12. Разница сумм 1198 − 750 = 448 ₸, масс 12 − 5 = 7 т, поэтому k = 448 : 7 = 64 ₸/т. F = 750 − 64 · 5 = 430 ₸. Для двух разных масс система линейных равенств даёт ровно одно k; подстановка во вторую квитанцию подтверждает F.

Особые случаи, о которых часто забывают

Нулевой груз. При m = 0 цена C = F не зависит от k. Поэтому по одному пустому рейсу k вычислить невозможно: уравнение 0 · k = 0 удовлетворяется любым коэффициентом. При двух заказах с одинаковой массой вычитание даёт 0 · k = 0 и тоже не определяет тариф.

Несогласованные квитанции. Если за 2 т берут 660 ₸, а за 5 т — 600 ₸, разность стоимости отрицательна при положительной разности масс. Получается k = (600 − 660) : (5 − 2) = −20 ₸/т. При условии k ≥ 0 такой набор данных не подходит: нельзя «исправить» его округлением.

Самопроверка. Тариф k измеряется в ₸/т, фиксированная плата F — в ₸, а стоимость C — в ₸. Умножение k на массу должно дать тенге. Во всех двенадцати карточках фиксированная часть не меняется внутри задачи; если бы она менялась от заказа к заказу, вывод из двух квитанций уже не был бы обоснован.

Итог для ученика: прежде чем записать k, назови модель, выпиши известные данные, проверь ненулевой делитель и верни значение коэффициента в исходную формулу. Одно правильное число без объяснения способа не считается полным решением.