Восстановление коэффициента по данным для расхода воды по дням — карточки с ответами, 7 класс

Цель: по показаниям водомера в разные дни находить расход воды за один день и проверять, что одинаковый коэффициент описывает все данные.

Показание счётчика в конце n-го дня обозначим P(n), в литрах. В условных тренировочных задачах вода расходуется равномерно: P(n) = P₀ + kn. Здесь P₀ — исходное показание, k — расход в литрах за день, а n — число прошедших дней. Разность двух показаний даёт расход за промежуток, а не итоговое показание.

Лёгкий старт — найди коэффициент

Пример: при P₀ = 3200 л и P(4) = 3336 л расход k равен (3336 − 3200) : 4 = 34 л/день. Обратно: 3200 + 4 · 34 = 3336. Критерий правильности: если прошло больше дней, показание увеличилось на количество дней, умноженное на один и тот же расход.

1. 1. В день 0 показание 3400 л, через 5 дней — 3540 л. Восстанови k и назови единицу.
2. 2. В день 0 показание 2780 л, через 6 дней — 2978 л. Восстанови k и назови единицу.
3. 3. В день 0 показание 4150 л, через 3 дней — 4276 л. Восстанови k и назови единицу.
4. 4. В день 0 показание 5960 л, через 8 дней — 6168 л. Восстанови k и назови единицу.
5. 5. В день 0 показание 4720 л, через 4 дней — 4868 л. Восстанови k и назови единицу.
6. 6. В день 0 показание 3250 л, через 7 дней — 3593 л. Восстанови k и назови единицу.

Развилка «верно или ошибка»

В каждой записи проверь, соответствует ли предлагаемое значение k исходным данным. Если нет — укажи причину ошибки, заново вычисли k и проверь подстановкой. Не пропускай измерение «л/день»: смешение суточного расхода с накопленным расходом меняет смысл коэффициента.

1. 7. P(0) = 2500 л, P(5) = 2655 л. Ученик написал k = 31 л/день. Верно ли? Исправь, если нужно.
2. 8. P(0) = 3800 л, P(4) = 3896 л. Ученик написал k = 96 л/день. Верно ли? Исправь, если нужно.
3. 9. P(0) = 4620 л, P(6) = 4890 л. Ученик написал k = 45 л/день. Верно ли? Исправь, если нужно.
4. 10. P(0) = 2200 л, P(3) = 2314 л. Ученик написал k = 41 л/день. Верно ли? Исправь, если нужно.
5. 11. P(0) = 5170 л, P(5) = 5305 л. Ученик написал k = 135 л/день. Верно ли? Исправь, если нужно.
6. 12. P(0) = 6900 л, P(2) = 7004 л. Ученик написал k = 26 л/день. Верно ли? Исправь, если нужно.

Ступень «два показания, неизвестное начало»

Теперь P₀ не дано. Расход восстанавливается из двух замеров: k = (P(n₂) − P(n₁)) : (n₂ − n₁). В ответе объясни, почему требуется вычесть показания и дни в одном порядке. После этого вычисли исходное показание P₀ и показатель на новый день.

1. 13. В дни 2 и 7 показания равны 3022 и 3202 л. Вычисли k, P₀ и показание в день 10.
2. 14. В дни 3 и 8 показания равны 4137 и 4282 л. Вычисли k, P₀ и показание в день 11.
3. 15. В дни 1 и 5 показания равны 5163 и 5335 л. Вычисли k, P₀ и показание в день 9.
4. 16. В дни 4 и 9 показания равны 3516 и 3786 л. Вычисли k, P₀ и показание в день 12.
5. 17. В дни 2 и 6 показания равны 6284 и 6412 л. Вычисли k, P₀ и показание в день 13.
6. 18. В дни 3 и 10 показания равны 4691 и 5020 л. Вычисли k, P₀ и показание в день 14.

Ответы и проверочные действия

1. 1. k = (3540 − 3400) : 5 = 28 л/день. Проверка: 3400 + 28 · 5 = 3540 л.
2. 2. k = (2978 − 2780) : 6 = 33 л/день. Проверка: 2780 + 33 · 6 = 2978 л.
3. 3. k = (4276 − 4150) : 3 = 42 л/день. Проверка: 4150 + 42 · 3 = 4276 л.
4. 4. k = (6168 − 5960) : 8 = 26 л/день. Проверка: 5960 + 26 · 8 = 6168 л.
5. 5. k = (4868 − 4720) : 4 = 37 л/день. Проверка: 4720 + 37 · 4 = 4868 л.
6. 6. k = (3593 − 3250) : 7 = 49 л/день. Проверка: 3250 + 49 · 7 = 3593 л.

Проверка верных и ошибочных утверждений

1. 7. Верно: фактически k = (2655 − 2500) : 5 = 31 л/день. Исходная разность 155 л относится ко всем 5 дням, а не к одному; подстановка даёт 2655 л.
2. 8. Неверно: фактически k = (3896 − 3800) : 4 = 24 л/день. Исходная разность 96 л относится ко всем 4 дням, а не к одному; подстановка даёт 3896 л.
3. 9. Верно: фактически k = (4890 − 4620) : 6 = 45 л/день. Исходная разность 270 л относится ко всем 6 дням, а не к одному; подстановка даёт 4890 л.
4. 10. Неверно: фактически k = (2314 − 2200) : 3 = 38 л/день. Исходная разность 114 л относится ко всем 3 дням, а не к одному; подстановка даёт 2314 л.
5. 11. Неверно: фактически k = (5305 − 5170) : 5 = 27 л/день. Исходная разность 135 л относится ко всем 5 дням, а не к одному; подстановка даёт 5305 л.
6. 12. Неверно: фактически k = (7004 − 6900) : 2 = 52 л/день. Исходная разность 104 л относится ко всем 2 дням, а не к одному; подстановка даёт 7004 л.

Решения с двумя контрольными днями

1. 13. k = (3202 − 3022) : (7 − 2) = 180 : 5 = 36 л/день. P₀ = 3022 − 36 · 2 = 2950 л. P(10) = 2950 + 36 · 10 = 3310 л.
2. 14. k = (4282 − 4137) : (8 − 3) = 145 : 5 = 29 л/день. P₀ = 4137 − 29 · 3 = 4050 л. P(11) = 4050 + 29 · 11 = 4369 л.
3. 15. k = (5335 − 5163) : (5 − 1) = 172 : 4 = 43 л/день. P₀ = 5163 − 43 · 1 = 5120 л. P(9) = 5120 + 43 · 9 = 5507 л.
4. 16. k = (3786 − 3516) : (9 − 4) = 270 : 5 = 54 л/день. P₀ = 3516 − 54 · 4 = 3300 л. P(12) = 3300 + 54 · 12 = 3948 л.
5. 17. k = (6412 − 6284) : (6 − 2) = 128 : 4 = 32 л/день. P₀ = 6284 − 32 · 2 = 6220 л. P(13) = 6220 + 32 · 13 = 6636 л.
6. 18. k = (5020 − 4691) : (10 − 3) = 329 : 7 = 47 л/день. P₀ = 4691 − 47 · 3 = 4550 л. P(14) = 4550 + 47 · 14 = 5208 л.

Итоговая самопроверка

Один замер без P₀ не определяет расход. Если в условии известны лишь P(5) = 2000 л, возможно множество пар P₀, k. Два замера за разные дни дают единственное k при постоянном расходе. Если расход менялся каждый день, линейная модель применима только к среднему за промежуток, а не к каждому отдельному дню.

Проверь себя: ты отличаешь исходное показание счётчика от суточного расхода, умеешь находить коэффициент из разности измерений и знаешь, почему нельзя делить итоговое показание на число дней. Если ошибся в 7–12, повтори перевод общего расхода в суточный; если в 13–18, потренируйся сначала вычитать измерения, а потом восстанавливать P₀.