Сравнение линейных моделей в задаче о доставке груза: математический практикум для 7 класса

Цель: сравнивать два тарифа доставки одного и того же груза, определять точку равной стоимости и доказывать, для какой массы выгоднее каждый вариант.

У службы А доставка стоит A(m) = Fₐ + a·m, у службы Б — B(m) = Fᵦ + b·m. Значения F — плата за подачу грузовика (₸), коэффициенты a и b — стоимость перевозки одной тонны (₸/т), m ≥ 0 — масса в тоннах. Сравнивать только цены за тонну неверно: компания с более низкой переменной ставкой может брать более дорогую подачу.

Один пример с обратной проверкой

Пусть A(m) = 430 + 34m и B(m) = 190 + 58m. Равенство цен: 430 + 34m = 190 + 58m, то есть 240 = 24m и m = 10 т. При 6 т получаем A = 634 ₸, B = 538 ₸: выгоднее Б. При 14 т получаем A = 906 ₸, B = 1002 ₸: выгоднее А. Обратная проверка при 10 т: обе цены равны 770 ₸.

Если тарифы пересекаются, сравни их до и после точки равенства. Если коэффициенты одинаковы, разница стоимостей постоянна: пересечения нет, кроме случая полностью одинаковых тарифов. При отрицательных массах решать нельзя: область определения m ≥ 0, а в некоторых заданиях масса дополнительно целая.

Изменённые условия — шестнадцать независимых рейсов

1. 1. А: 520 + 38m ₸; Б: 220 + 63m ₸. Для груза 5 т вычисли обе цены, выбери компанию и найди точную массу, при которой цены равны. Что выгоднее по разные стороны от равенства?
2. 2. А: 465 + 42m ₸; Б: 185 + 77m ₸. Для груза 9 т вычисли обе цены, выбери компанию и найди точную массу, при которой цены равны. Что выгоднее по разные стороны от равенства?
3. 3. А: 610 + 49m ₸; Б: 290 + 69m ₸. Для груза 12 т вычисли обе цены, выбери компанию и найди точную массу, при которой цены равны. Что выгоднее по разные стороны от равенства?
4. 4. А: 730 + 27m ₸; Б: 250 + 67m ₸. Для груза 8 т вычисли обе цены, выбери компанию и найди точную массу, при которой цены равны. Что выгоднее по разные стороны от равенства?
5. 5. Для компаний А и Б тарифы равны 480 + 46m и 240 + 70m ₸. Заказы оформляются только на целое число тонн. Найди первый тоннаж, когда А строго дешевле Б, и укажи, что происходит при массе на одну тонну меньше.
6. 6. Для компаний А и Б тарифы равны 690 + 41m и 330 + 71m ₸. Заказы оформляются только на целое число тонн. Найди первый тоннаж, когда А строго дешевле Б, и укажи, что происходит при массе на одну тонну меньше.
7. 7. Для компаний А и Б тарифы равны 550 + 52m и 130 + 87m ₸. Заказы оформляются только на целое число тонн. Найди первый тоннаж, когда А строго дешевле Б, и укажи, что происходит при массе на одну тонну меньше.
8. 8. Для компаний А и Б тарифы равны 775 + 36m и 235 + 81m ₸. Заказы оформляются только на целое число тонн. Найди первый тоннаж, когда А строго дешевле Б, и укажи, что происходит при массе на одну тонну меньше.
9. 9. До акции А = 590 + 32m, Б = 270 + 72m ₸. Компания А снизила фиксированную плату на 80 ₸, не меняя ставку. Как изменилась масса равной стоимости? Кто выгоднее при 7 т после акции?
10. 10. До акции А = 860 + 43m, Б = 300 + 78m ₸. Компания А снизила фиксированную плату на 80 ₸, не меняя ставку. Как изменилась масса равной стоимости? Кто выгоднее при 11 т после акции?
11. 11. До акции А = 710 + 29m, Б = 350 + 74m ₸. Компания А снизила фиксированную плату на 80 ₸, не меняя ставку. Как изменилась масса равной стоимости? Кто выгоднее при 13 т после акции?
12. 12. До акции А = 980 + 44m, Б = 380 + 84m ₸. Компания А снизила фиксированную плату на 80 ₸, не меняя ставку. Как изменилась масса равной стоимости? Кто выгоднее при 17 т после акции?
13. 13. Для доставки 6 т тарифы А = 630 + 57m и Б = 270 + 93m ₸. Не меняя ставку за тонну, на сколько тенге следует изменить фиксированную плату А, чтобы счета стали равными? Можно ли вместо этого менять тариф Б без изменения знака разницы?
14. 14. Для доставки 18 т тарифы А = 545 + 38m и Б = 125 + 68m ₸. Не меняя ставку за тонну, на сколько тенге следует изменить фиксированную плату А, чтобы счета стали равными? Можно ли вместо этого менять тариф Б без изменения знака разницы?
15. 15. Для доставки 4 т тарифы А = 820 + 35m и Б = 460 + 65m ₸. Не меняя ставку за тонну, на сколько тенге следует изменить фиксированную плату А, чтобы счета стали равными? Можно ли вместо этого менять тариф Б без изменения знака разницы?
16. 16. Для доставки 20 т тарифы А = 930 + 42m и Б = 390 + 87m ₸. Не меняя ставку за тонну, на сколько тенге следует изменить фиксированную плату А, чтобы счета стали равными? Можно ли вместо этого менять тариф Б без изменения знака разницы?

Решения и обратные проверки

1. 1. При 5 т: А = 710 ₸, Б = 535 ₸, выгоднее Б. Условие равенства: (63 − 38)m = 520 − 220, значит m = 12 т. Меньше этой массы выгоднее Б, больше — А; проверка разности цен: A(m) − B(m) = 300 − 25m.
2. 2. При 9 т: А = 843 ₸, Б = 878 ₸, выгоднее А. Условие равенства: (77 − 42)m = 465 − 185, значит m = 8 т. Меньше этой массы выгоднее Б, больше — А; проверка разности цен: A(m) − B(m) = 280 − 35m.
3. 3. При 12 т: А = 1198 ₸, Б = 1118 ₸, выгоднее Б. Условие равенства: (69 − 49)m = 610 − 290, значит m = 16 т. Меньше этой массы выгоднее Б, больше — А; проверка разности цен: A(m) − B(m) = 320 − 20m.
4. 4. При 8 т: А = 946 ₸, Б = 786 ₸, выгоднее Б. Условие равенства: (67 − 27)m = 730 − 250, значит m = 12 т. Меньше этой массы выгоднее Б, больше — А; проверка разности цен: A(m) − B(m) = 480 − 40m.
5. 5. Граница m = 10 т. Наименьшая целая масса строго выше границы — 11 т: А = 986 ₸, Б = 1010 ₸. При 10 т: А = 940 ₸, Б = 940 ₸ (А ещё не дешевле). Это обратная проверка двух соседних допустимых заказов.
6. 6. Граница m = 12 т. Наименьшая целая масса строго выше границы — 13 т: А = 1223 ₸, Б = 1253 ₸. При 12 т: А = 1182 ₸, Б = 1182 ₸ (А ещё не дешевле). Это обратная проверка двух соседних допустимых заказов.
7. 7. Граница m = 12 т. Наименьшая целая масса строго выше границы — 13 т: А = 1226 ₸, Б = 1261 ₸. При 12 т: А = 1174 ₸, Б = 1174 ₸ (А ещё не дешевле). Это обратная проверка двух соседних допустимых заказов.
8. 8. Граница m = 12 т. Наименьшая целая масса строго выше границы — 13 т: А = 1243 ₸, Б = 1288 ₸. При 12 т: А = 1207 ₸, Б = 1207 ₸ (А ещё не дешевле). Это обратная проверка двух соседних допустимых заказов.
9. 9. Старая граница 8 т, новая: (510 − 270) : (72 − 32) = 6 т. При 7 т новые суммы А = 734 ₸, Б = 774 ₸; выгоднее А. Граница уменьшилась, что разумно: фиксированная плата А стала ниже.
10. 10. Старая граница 16 т, новая: (780 − 300) : (78 − 43) = 96/7 т. При 11 т новые суммы А = 1253 ₸, Б = 1158 ₸; выгоднее Б. Граница уменьшилась, что разумно: фиксированная плата А стала ниже.
11. 11. Старая граница 8 т, новая: (630 − 350) : (74 − 29) = 56/9 т. При 13 т новые суммы А = 1007 ₸, Б = 1312 ₸; выгоднее А. Граница уменьшилась, что разумно: фиксированная плата А стала ниже.
12. 12. Старая граница 15 т, новая: (900 − 380) : (84 − 44) = 13 т. При 17 т новые суммы А = 1648 ₸, Б = 1808 ₸; выгоднее А. Граница уменьшилась, что разумно: фиксированная плата А стала ниже.
13. 13. При 6 т А = 972 ₸, Б = 828 ₸. Следует уменьшить фиксированную плату А на 144 ₸. Новый счёт А = 972 − (144) = 828 ₸. Для равенства можно изменить фиксированную плату Б в сторону первоначальной цены А на те же 144 ₸, при этом исходные ставки останутся прежними.
14. 14. При 18 т А = 1229 ₸, Б = 1349 ₸. Следует увеличить фиксированную плату А на 120 ₸. Новый счёт А = 1229 − (-120) = 1349 ₸. Для равенства можно изменить фиксированную плату Б в сторону первоначальной цены А на те же 120 ₸, при этом исходные ставки останутся прежними.
15. 15. При 4 т А = 960 ₸, Б = 720 ₸. Следует уменьшить фиксированную плату А на 240 ₸. Новый счёт А = 960 − (240) = 720 ₸. Для равенства можно изменить фиксированную плату Б в сторону первоначальной цены А на те же 240 ₸, при этом исходные ставки останутся прежними.
16. 16. При 20 т А = 1770 ₸, Б = 2130 ₸. Следует увеличить фиксированную плату А на 360 ₸. Новый счёт А = 1770 − (-360) = 2130 ₸. Для равенства можно изменить фиксированную плату Б в сторону первоначальной цены А на те же 360 ₸, при этом исходные ставки останутся прежними.

Почему нельзя искать «выгодный тариф» только по ставке

У компании А ставка за тонну ниже, чем у Б, во всех шестнадцати задачах. Но за подачу машины А берёт больше. Поэтому при небольшой массе выигрыш по ставке не покрывает фиксированную переплату, а при большой массе покрывает. Точка равных расходов получается из уравнения, а не из сравнения только свободных членов или только коэффициентов.

Если ответ на равенство получился дробной массой, это не ошибка: например, математическая модель разрешает положительные дробные тонны. Если компания принимает заказы только на целое число тонн, сравни тарифы для соседних допустимых масс. При точке 7,5 т нет заказа в 7,5 т, но между 7 и 8 т действительно меняется более дешёвый вариант.

Проверить полученное уравнение можно без полного пересчёта: разность A(m) − B(m) линейна. Подставь m = 0: знак положительный, поскольку подача А дороже. С увеличением массы знак убывает, так как у А меньшая ставка. Единственный переход через ноль возможен в точке равенства тарифов. Если знаки в выводе противоположны, проверь порядок вычитания.

Отдельный контрольный вопрос: A(m) = 200 + 40m, B(m) = 300 + 40m. При всех m ≥ 0 разность равна −100 ₸, так что А дешевле при любой массе и точки равенства нет. При одинаковых свободных членах и одинаковых ставках тарифы совпадают для всех масс, а не в одной «точке пересечения». Эти исключения стоит всегда проверять до деления на разность коэффициентов.