Поиск контрпримера к утверждению для равенства алгебраических выражений — тематические карточки для 7 класса

7 класс · алгебраические выражения · два контрастных варианта. Здесь каждое равенство объявлено верным для любого значения x. Ваша задача — отличить тождество от равенства, которое нарушается хотя бы при одном значении. Для ложного общего утверждения достаточно одного контрпримера; для доказательства тождества нужно выполнить равносильное преобразование обеих частей.

Сравните два решения перед работой

Запись (x+4)²=x²+16 выглядит убедительно, но при x=1 левая часть равна 25, правая — 17. Этого достаточно для опровержения. А запись (x−4)(x+4)=x²−16 верна при всех x по формуле разности квадратов. Проверка одного значения, например x=1, здесь не служит доказательством; доказательством служит раскрытие скобок: x²+4x−4x−16=x²−16.

Вычисляя контрпример, записывайте обе части отдельно, чтобы было видно нарушение равенства. Отрицательное x допустимо, потому что в заданиях есть только многочлены без знаменателей. Не забывайте, что (a−b)²=a²−2ab+b²; особенно часто ошибаются на удвоенном произведении. Когда обе части получаются одинаковыми многочленами, равенство доказано независимо от выбранного числа x.

Вариант А — ловушки со скобками и знаками

1. Верно ли для любого значения x равенство (x+2)² = x²+4·x+4? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
2. Верно ли для любого значения x равенство (x+3)² = x²+9? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
3. Верно ли для любого значения x равенство 3·(x-2) = 3·x-6? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
4. Верно ли для любого значения x равенство (x-5)² = x²-25? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
5. Верно ли для любого значения x равенство (2·x+1)·(x-3) = 2·x²-5·x-3? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
6. Верно ли для любого значения x равенство (x+4)·(x-4) = x²+16? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
7. Верно ли для любого значения x равенство 2·(x+3)-(x+1) = x+5? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
8. Верно ли для любого значения x равенство (3·x-2)² = 9·x²-4? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.

Вариант Б — раскрытие произведений и разность квадратов

1. Верно ли для любого значения x равенство (x-1)·(x+2) = x²+x-2? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
2. Верно ли для любого значения x равенство 5·x-2·(x-4) = 3·x-8? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
3. Верно ли для любого значения x равенство (x+1)²-x² = 2·x+1? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
4. Верно ли для любого значения x равенство (x-4)·(x-1) = x²-5·x+5? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
5. Верно ли для любого значения x равенство (2·x-3)·(2·x+3) = 4·x²-9? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
6. Верно ли для любого значения x равенство (x+2)·(x+3) = x²+5·x+5? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
7. Верно ли для любого значения x равенство (x-2)²+4·x = x²+4? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.
8. Верно ли для любого значения x равенство (3·x+1)² = 9·x²+3·x+1? Если нет, найдите одно подходящее число x; если да, приведите раскрытие скобок.

Ключ А: восемь решений

1. Задание 1. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны x² + 4·x + 4. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
2. Задание 2. Это не тождество. Контрпример x=1: слева 16, справа 10. Разность раскрытых выражений равна 6·x, то есть это не нулевой многочлен.
3. Задание 3. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны 3·x - 6. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
4. Задание 4. Это не тождество. Контрпример x=0: слева 25, справа -25. Разность раскрытых выражений равна 50 - 10·x, то есть это не нулевой многочлен.
5. Задание 5. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны 2·x² - 5·x - 3. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
6. Задание 6. Это не тождество. Контрпример x=0: слева -16, справа 16. Разность раскрытых выражений равна -32, то есть это не нулевой многочлен.
7. Задание 7. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны x + 5. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
8. Задание 8. Это не тождество. Контрпример x=0: слева 4, справа -4. Разность раскрытых выражений равна 8 - 12·x, то есть это не нулевой многочлен.

Ключ Б: ещё восемь решений

1. Задание 9. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны x² + x - 2. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
2. Задание 10. Это не тождество. Контрпример x=0: слева 8, справа -8. Разность раскрытых выражений равна 16, то есть это не нулевой многочлен.
3. Задание 11. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны 2·x + 1. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
4. Задание 12. Это не тождество. Контрпример x=0: слева 4, справа 5. Разность раскрытых выражений равна -1, то есть это не нулевой многочлен.
5. Задание 13. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны 4·x² - 9. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
6. Задание 14. Это не тождество. Контрпример x=0: слева 6, справа 5. Разность раскрытых выражений равна 1, то есть это не нулевой многочлен.
7. Задание 15. Тождество. После раскрытия скобок обе стороны равны x² + 4. Это доказательство для любого x, а не проверка одного случайного числа.
8. Задание 16. Это не тождество. Контрпример x=1: слева 16, справа 13. Разность раскрытых выражений равна 3·x, то есть это не нулевой многочлен.

Взаимная проверка: обменяйтесь вариантами; на листе партнёра обведите случаи, где вместо контрпримера приведено лишь предположение. Если равенство признано тождеством, должно быть записано общее преобразование; если признано ложным, должны быть вычислены обе стороны в одном и том же x. Одно совпадение численных значений не гарантирует тождества: например, x²=x при x=0 и x=1, но при x=2 получаются 4 и 2.

Частая ошибка — попытка «доказать» ложное равенство, перенося слагаемые без раскрытия скобок. Исправление состоит из трёх шагов: выписать оба выражения, привести подобные члены независимо, а затем сравнить получившиеся многочлены. Даже если в отдельной точке выражения совпали, их коэффициенты могут отличаться. Для этого занятия достаточно раскрытия скобок и подстановки целых чисел; специальные методы исследования функций не требуются.