Поиск контрпримера к утверждению для свойств целочисленных последовательностей — диагностика ошибок, 7 класс

7 класс · целочисленные последовательности · диагностика ошибок. Буква n обозначает номер элемента: n=1,2,3,… . Формула задаёт значение a_n, а утверждение ученика относится ко всей бесконечной последовательности. В этой работе нельзя подменять доказательство проверкой нескольких первых членов. Главное умение — самостоятельно находить первый подходящий контрпример и объяснять, почему он разрушает общее правило.

Лёгкий старт: проверим первые значения

Пусть a_n=2n−3. Первые четыре значения: −1, 1, 3, 5. Утверждение «все члены положительны» ложно из-за первого члена. Если же a_n=4n, каждый член делится на 2, поскольку 4n=2·(2n) для любого натурального n. Разница принципиальна: в первом случае достаточно вычислить один контрпример, во втором мы приводим общую формулу.

Этап 1. Ошибка или верно: первые шесть карточек

1. Для последовательности целых чисел a_n=2n+1, n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены чётные». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
2. Для последовательности целых чисел a_n=4n, n=1,2,3,…, ученик написал: «каждый член делится на 2». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
3. Для последовательности целых чисел a_n=n(n+1), n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены нечётные». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
4. Для последовательности целых чисел a_n=3n+2, n=1,2,3,…, ученик написал: «каждый член кратен 3». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
5. Для последовательности целых чисел a_n=2n−3, n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены положительны». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
6. Для последовательности целых чисел a_n=5−n, n=1,2,3,…, ученик написал: «последовательность строго возрастает». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.

Проверьте, не перепутал ли ученик свойство одного члена со свойством всех членов. Если пример получился неверным, не исправляйте утверждение молча: запишите исходное высказывание и число n, которое его опровергает. В задачах на возрастание вычислите два соседних члена — одиночного значения для сравнения недостаточно.

Этап 2. Закономерность и доказательство

1. Для последовательности целых чисел a_n=n², n=1,2,3,…, ученик написал: «разность a(n+1)−a(n) равна 2n+1». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
2. Для последовательности целых чисел a_n=3n, n=1,2,3,…, ученик написал: «сумма любых двух соседних членов чётна». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
3. Для последовательности целых чисел a_n=n²+n, n=1,2,3,…, ученик написал: «каждый член делится на 2». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
4. Для последовательности целых чисел a_n=2n, n=1,2,3,…, ученик написал: «каждый следующий член больше предыдущего на 2». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
5. Для последовательности целых чисел a_n=3n+1, n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены нечётные». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
6. Для последовательности целых чисел a_n=n²+1, n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены составные числа». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.

Здесь полезны разности соседних членов, произведение последовательных чисел и делимость на 2. Следите за тем, что индекс n всегда целый и не меньше единицы. Утверждение о «составности» не подтверждается одной проверкой большого члена: ищите малый контрпример и помните, что число 2 простое. Когда доказательство включает квадрат или произведение, расписывайте его точно, а не заменяйте вычисления рассуждением по внешнему виду чисел.

Этап 3. Итоговая проверка более строгих свойств

1. Для последовательности целых чисел a_n=2n+4, n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены больше пяти». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
2. Для последовательности целых чисел a_n=2n+1, n=1,2,3,…, ученик написал: «любые два соседних члена взаимно просты». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
3. Для последовательности целых чисел a_n=4n+2, n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены кратны четырём». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
4. Для последовательности целых чисел a_n=6n, n=1,2,3,…, ученик написал: «каждый член чётен». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
5. Для последовательности целых чисел a_n=1−n, n=1,2,3,…, ученик написал: «каждый член строго отрицателен». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.
6. Для последовательности целых чисел a_n=(n−1)(n+1), n=1,2,3,…, ученик написал: «все члены нечётные». Верно ли это для всех допустимых n? Приведите контрпример или короткое доказательство.

Ключ: объяснения по всем этапам

1. № 1. Неверно. a₁=3 — нечётное число.
2. № 2. Верно. 4n=2·(2n) для всякого целого n≥1.
3. № 3. Неверно. a₁=1·2=2 — чётное.
4. № 4. Неверно. a₁=5 не делится на 3.
5. № 5. Неверно. a₁=−1.
6. № 6. Неверно. a₁=4, a₂=3, значит она убывает.
7. № 7. Верно. (n+1)²−n²=2n+1.
8. № 8. Неверно. a₁+a₂=3+6=9 нечётно.
9. № 9. Верно. n(n+1) — произведение двух соседних целых; одно из них чётное.
10. № 10. Верно. 2(n+1)−2n=2.
11. № 11. Неверно. a₁=4 — чётное.
12. № 12. Неверно. a₁=2 — простое число.
13. № 13. Верно. при n≥1 имеем 2n+4≥6>5.
14. № 14. Верно. соседние члены отличаются на 2 и оба нечётны; их общий делитель делит 2 и потому равен 1.
15. № 15. Неверно. a₁=6, на 4 не делится.
16. № 16. Верно. 6n=2·3n.
17. № 17. Неверно. a₁=0, что не является отрицательным числом.
18. № 18. Неверно. a₁=(1−1)(1+1)=0 чётно.

Итоговая памятка: опровержение начинается с одного правильно подставленного индекса. Доказательство начинается с произвольного n≥1 и объясняет, почему свойство следует из формулы. Например, у последовательности 2n+1 все элементы нечётные, потому что это удвоенное целое плюс единица; если ученик сообщил только значения 3, 5, 7, доказательство ещё не завершено. У соседних нечётных чисел 2n+1 и 2n+3 общий делитель может делить их разность 2, но поскольку оба числа нечётны, общий делитель не может равняться 2; значит, наибольший общий делитель равен единице.