Определение времени достижения порога при ежегодном процентном увеличении — карточки с ответами, 10 класс

Учебная цель: находить минимальное целое число прошедших лет, когда накопленное значение впервые достигает заданной отметки.

В этой карточке год — один законченный шаг начисления процентов; между шагами величина по условию не меняется. Нужно обнаружить первый год достижения порога, а не просто любой подходящий срок.

Таблица исходных данных

Для всех 16 строк действует одна модель: S(n) = S(0) · (1 + r/100)ⁿ, где n = 0, 1, 2, … . Порог считается достигнутым при S(n) ≥ T. Числа условные; денежные единицы, посетители и баллы не смешиваются внутри одного задания.

Как проверять ответ по таблице

• Сначала проверьте год 0: иногда заданный порог уже достигнут, поэтому ответом будет ноль.
• Найдите первый год n, для которого величина не меньше порога; равенство тоже подходит.
• Проверьте минимальность: для n ≥ 1 значение в году n − 1 должно быть строго ниже порога.
• Если процент прироста равен нулю, а старт ниже порога, цель не будет достигнута ни за какое конечное число лет.

Задания к таблице: три шага работы

Блок А. Первое достижение

1. По строкам 1–4 вычислите срок без калькулятора, показывая значения двух соседних лет.
2. По строкам 5–8 определите, округление какого промежуточного значения может привести к ошибочному решению.
3. Для строк 9–12 сравните значение непосредственно до порога и сразу после него.
4. Для строк 13–16 объясните, почему нужен именно минимальный целый n, а не дробное решение уравнения.

Блок Б. Вычисления по строкам

В каждом из 16 пронумерованных случаев таблицы ответьте на один вопрос: через сколько полных лет впервые будет достигнут порог? Для задач 5, 10 и 15 особенно важно не округлять промежуточные величины вверх. После вычислений перейдите к ключу ниже и проверьте не только год, но и год до него.

Блок В. Проверка ошибочных рассуждений

• Ученик утверждает: «После трёх лет получилось 1093,9556, а до 1094 не хватает совсем немного; можно записать три года». Сверьте рассуждение со строкой 5 и обоснуйте ответ.
• Ученик говорит: «Если величина растёт на 25 %, то после двух лет она выросла на 50 %». Проверьте по строке 3; здесь коэффициенты не складывают, а перемножают.
• Ученик считает, что порог, равный начальному значению, может быть достигнут только после года роста. Приведите контрпример из таблицы.

Ключ к 16 заданиям

1. 1. n = 3: после 2 года значение 968 < 1000, после 3 года — 1064,8 ≥ 1000.
2. 2. n = 3: после 2 года значение 1458 < 1500, после 3 года — 1574,64 ≥ 1500.
3. 3. n = 2: после 1 года значение 800 < 1000, после 2 года — 1000 ≥ 1000.
4. 4. n = 1: после 0 года значение 500 < 600, после 1 года — 600 ≥ 600.
5. 5. n = 5: после 4 года значение 1093,956 < 1094, после 5 года — 1148,653 ≥ 1094.
6. 6. n = 3: после 2 года значение 2645 < 3000, после 3 года — 3041,75 ≥ 3000.
7. 7. n = 3: после 2 года значение 1518,75 < 1700, после 3 года — 1708,594 ≥ 1700.
8. 8. n = 1: после 0 года значение 1000 < 1200, после 1 года — 1250 ≥ 1200.
9. 9. n = 3: после 2 года значение 900 < 1300, после 3 года — 1350 ≥ 1300.
10. 10. n = 4: после 3 года значение 1296 < 1300, после 4 года — 1555,2 ≥ 1300.
11. 11. n = 2: после 1 года значение 1200 < 1500, после 2 года — 1500 ≥ 1500.
12. 12. n = 2: после 1 года значение 1980 < 2000, после 2 года — 2178 ≥ 2000.
13. 13. n = 3: после 2 года значение 675 < 800, после 3 года — 1012,5 ≥ 800.
14. 14. нет такого года: коэффициент равен 1, а 1000 < 1100.
15. 15. n = 0: уже в начале 500 ≥ 400.
16. 16. n = 6: после 5 года значение 1914,422 < 2000, после 6 года — 2010,143 ≥ 2000.

Подробный разбор двух спорных строк

Строка 5. Имеем S(3) = 900 · 1,05³ = 1041,8625; S(4) = 900 · 1,05⁴ = 1093,955625. До порога 1094 всё ещё не хватает 0,044375. Значит, при ежегодном начислении и без промежуточных проверок первый подходящий год — пятый. Округление 1093,955625 до 1094 изменило бы сам факт достижения порога, что недопустимо.

Строка 14. При нулевом приросте S(n) = 1000 для любого n. Требование S(n) ≥ 1100 не выполняется никогда. Вместо «очень много лет» следует записать «порог недостижим при данной модели».

Проверка для учителя

За правильный номер года можно поставить один балл, за проверку предыдущего года — ещё один. В строках 14 и 15 достаточно корректно разобрать исключительный случай. Разберите с учащимися типовую ловушку: первое достижение нельзя устанавливать округлённым логарифмом без проверки целого шага.