Поиск стационарной точки для функции с параметром в коэффициенте — тренажёр для 11 класса

11 класс. Цель: находить нуль производной при параметре, проверять область определения и осмысленно интерпретировать ответ.

Школьная мастерская выпускает небольшие наборы. При x десятках наборов за смену модель условной прибыли имеет вид Pₐ(x)=−a·x²+24x−30 (условных денежных единиц), 0≤x≤20. Коэффициент a>0 отражает растущие затраты. Все данные условные; цель — восстановить a по положению стационарной точки, а не предсказать реальную выручку.

Исходная таблица мастерской

Производная P′ₐ(x)=24−2ax, поэтому при a>0 единственный нуль x₀=12/a. Вторая производная P″ₐ(x)=−2a<0: точка даёт максимум параболы на всей прямой. Однако если x₀ вне [0;20], то максимальное значение на допустимом отрезке ищут на границе. Стационарность и оптимум на ограниченном промежутке — разные вопросы.

Маршрут вопросов по исходной модели

1. Задание 1. При a=2 найдите стационарную точку и вид экстремума.

2. Задание 2. Мастерская наблюдала максимум при x=8. Определите a.

3. Задание 3. Если стационарная точка x=3, чему равен коэффициент?

4. Задание 4. Укажите стационарные точки для a=3 и a=6. Сравните их.

5. Задание 5. Для a=1 вычислите P′(5) и P′(15).

6. Задание 6. Может ли при a>0 стационарная точка иметь x₀<0?

7. Задание 7. Для a=0,5 найдите x₀ и максимум на разрешённом отрезке.

8. Задание 8. Найдите условие на a>0, при котором стационарная точка принадлежит [0;20].

9. Задание 9. При a=2 вычислите прибыль в точке максимума и при x=0.

10. Задание 10. Учащийся написал «при a=0,75 максимум достигается при x=12». Исправьте.

11. Задание 11. При каком a максимум модели расположен при x=5?

12. Задание 12. Для a=2 решите, на каком отрезке модель возрастает, а на каком убывает.

13. Задание 13. Сравните координаты x₀ при a=1,2 и a=2,4, объясните зависимость.

14. Задание 14. Что меняется при a=0, если формула остаётся прежней?

Проверка результатов и связь с графиком

1. 1. P′(x)=24−4x; x₀=6. Производная меняет «+» на «−», это максимум внутри [0;20].

2. 2. 12/a=8, откуда a=1,5; получено положительное значение, вершина лежит в допустимом промежутке.

3. 3. a=12/3=4; P″=−8<0, следовательно максимум.

4. 4. При a=3 имеем x₀=4, при a=6 — x₀=2. Двукратное увеличение a вдвое уменьшило x₀.

5. 5. P′(5)=24−10=14>0, P′(15)=24−30=−6<0; точка x₀=12 лежит между ними.

6. 6. Нет. x₀=12/a>0 для каждого положительного a; отрицательный ответ означает ошибку знака или нарушение условия a>0.

7. 7. x₀=24 вне [0;20]. Здесь P′(x)=24−x>0 для 0≤x≤20; максимум при x=20, а не в стационарной точке вне области.

8. 8. 0<12/a≤20 равносильно a≥0,6. При a=0,6 нуль производной на правой границе отрезка, не во внутренней точке.

9. 9. P₂(6)=−2·36+144−30=42, P₂(0)=−30. Значение в вершине больше на 72 условные единицы.

10. 10. При a=0,75 вершина x₀=12/0,75=16. Число 12 — коэффициент в формуле, а не координата вершины.

11. 11. 12/a=5, значит a=12/5=2,4. Проверка: 24−2·2,4·5=0.

12. 12. Поскольку P′=24−4x, модель возрастает на [0;6], убывает на [6;20]. Максимум в x=6.

13. 13. x₀=10 и x₀=5 соответственно: при двукратном увеличении положительного a координата вершины уменьшается вдвое.

14. 14. P₀(x)=24x−30 линейна, P′₀=24 нигде не равна нулю: стационарных точек нет; на [0;20] максимум при x=20.

Разбор ограничения на параметр

Главная типичная ошибка — вычислить x₀=12/a и автоматически назвать его оптимальным объёмом производства. Алгоритм требует двух шагов: проверить a>0, затем пересечь найденную точку с [0;20]. Если на предприятии x выражен десятками наборов, x=6 означает 60 наборов, а не шесть штук. Поскольку x может быть только целым числом десятков в практической модели, при дробном x₀ дополнительно сравнивают два ближайших допустимых целых значения.

Например, если a=5, координата вершины равна 2,4. Если выпуск допускает только целые десятки, сравним P₅(2)=−5·4+48−30=−2 и P₅(3)=−5·9+72−30=−3. Значит x=2 выгоднее, хотя непрерывная вершина находится в x=2,4. Такой переход от математического оптимума к допустимым целым решениям необходимо делать отдельно.

Как восстановить a, не потеряв смысл задачи

Сначала перепишите производную без ошибок: P′ₐ(x)=24−2ax. Затем запишите требование стационарности P′ₐ(x₀)=0, то есть 24−2ax₀=0. Если x₀>0, получим a=12/x₀. В контексте модели отрицательная величина a противоречила бы условию растущих затрат. Если же в ответе возникло x₀=0, исходная формула при фиксированном коэффициенте 24 вообще не допускает такого стационарного решения.

Можно проверить восстановленное число двумя независимыми способами. Первый — подстановка в производную, чтобы получить ровно нуль. Второй — сравнение значений Pₐ(x₀−h) и Pₐ(x₀+h) с Pₐ(x₀), где оба соседних аргумента допустимы. Поскольку парабола направлена ветвями вниз, значение в вершине не меньше соседних. Например, для a=2 и x₀=6 возьмём h=1: P₂(5)=−2·25+120−30=40, P₂(6)=42, P₂(7)=−2·49+168−30=40. Совпадение соседних значений следует из симметрии квадратичной модели.

При реальном выпуске нельзя игнорировать ограничения: сырьё, целые партии, максимальную загрузку. Здесь они намеренно сведены к отрезку [0;20]. Если восстановленный x₀ совпадает с концом отрезка, производная может равняться нулю, однако такая точка не является внутренней для ограниченной модели. Понимание этого различия помогает не смешивать максимум на отрезке и поиск стационарных точек на всей числовой прямой.