Сравнение наклонов касательных по таблице знаков — карточки с ответами, 11 класс

11 класс. Цель: отличать сравнение направлений касательных по знаку f′ от сравнения их числовых наклонов.

Дана таблица знаков производной. По ней можно решить, поднимается или опускается касательная и горизонтальна ли она. Но сравнить два положительных наклона по одному знаку невозможно: +1 и +20 имеют один знак, но разную величину. На этой границе знания построены карточки.

Шаг 1 — прочитайте схему, не приписывая ей лишних чисел

1. Задание 1. Сравните наклоны в x=−4 и x=0.

2. Задание 2. Сравните наклоны при x=2 и x=4.

3. Задание 3. Можно ли утверждать f′(0)<f′(4)?

4. Задание 4. В какой из точек x=−2, x=0, x=2 касательная горизонтальна?

5. Задание 5. Можно ли сравнить абсолютные величины наклонов при x=−4 и x=0?

6. Задание 6. Найдите две точки с одинаковым известным числовым наклоном.

7. Задание 7. Правда ли, что при x=−4 касательная круче вниз, чем при x=0 вверх?

Шаг 2 — числовые данные дополняют знаки

1. Задание 8. Какой наклон больше: в x=−3 или в x=−1?

2. Задание 9. В каких из перечисленных точек модуль наклона равен 3?

3. Задание 10. Сравните наклоны при x=1 и x=5.

4. Задание 11. Где касательная круче по модулю: x=−3 или x=3?

5. Задание 12. Проверьте утверждение: «положительный наклон всегда круче отрицательного».

6. Задание 13. Найдите наименьший и наибольший числовой наклон из таблицы.

Шаг 3 — исследования и контрпримеры

1. Задание 14. Можно ли из f′(a)>0 и f′(b)>0 заключить, что f′(a)=f′(b)?

2. Задание 15. Допустимо ли по знакам f′(a)=− и f′(b)=+ сказать, что f′(a)<f′(b)?

3. Задание 16. Известно 1<f′(a)<2 и 4<f′(b)<5. Какой наклон больше?

4. Задание 17. Известно −5<f′(a)<−3 и −2<f′(b)<−1. Определите, где наклон больше.

5. Задание 18. По двум строкам знаков f′(a)=0, f′(b)=0 докажите параллельность касательных.

6. Задание 19. Можно ли сравнивать f′(a) и f′(b), если напротив a стоит «не существует», а напротив b «+»?

Ответы к шагу 1

1. 1. f′(−4)<0<f′(0), значит первый наклон меньше второго; численных значений знать не нужно.

2. 2. 0=f′(2)<f′(4), значит в x=4 наклон больше.

3. 3. Нет: оба знака «+», возможны и f′(0)=1, f′(4)=10, и наоборот.

4. 4. При x=−2 и x=2, потому что там производная равна нулю.

5. 5. Нет: знаки различаются, но модули неизвестны. Варианты −1 и +5 либо −100 и +1 дают противоположные ответы.

6. 6. x=−2 и x=2: обе производные равны 0. Равенство знака «+» в других точках недостаточно.

7. 7. Схема говорит только «отрицательный» и «положительный». Сравнение крутизны по модулю невозможно.

Ответы к шагу 2

1. 8. −2>−8: наклон при x=−1 больше, хотя оба отрицательны.

2. 9. В приведённой таблице только x=3: |f′(3)|=3; других значений ±3 нет.

3. 10. 0<9. Горизонтальная касательная имеет меньший угловой коэффициент.

4. 11. При x=−3: |−8|=8>|3|=3. По числу наклон −8 меньше +3, но по модулю больше.

5. 12. Ложно. В таблице |−8|>|3|. Сравнение чисел и сравнение крутизны — разные действия.

6. 13. Минимум −8 при x=−3; максимум 9 при x=5. Сначала сравниваем значения производной, не значения самой функции.

Ответы к шагу 3

1. 14. Нет. Пример f(x)=x² даёт f′(1)=2 и f′(2)=4: два плюса, разные наклоны.

2. 15. Да, когда производные существуют: любое отрицательное число меньше любого положительного.

3. 16. При b: любой коэффициент из (4;5) больше любого из (1;2). Точные числа не требуются.

4. 17. При b: число больше −3 обязательно больше числа меньше −3. Оба наклона отрицательны, но второй ближе к нулю.

5. 18. Если функции дифференцируемы, обе касательные имеют угловой коэффициент нуль, следовательно обе горизонтальны и параллельны.

6. 19. Нет. Знак «не существует» не число; у a нет обычной касательной с конечным наклоном.

Проверка понимания

Поставьте себе вопрос: таблица сообщает значение производной или только её знак? Если дан знак, можно строго расположить отрицательный наклон ниже нулевого, а нулевой ниже положительного. Но нельзя выдумывать числовой порядок внутри одной группы знаков. Для сравнения «круче» отдельно укажите, имеется ли в виду больший угловой коэффициент или больший его модуль.

Две ловушки в математическом языке

Когда спрашивают «какой наклон больше?», сравнивают именно угловые коэффициенты как действительные числа: −2 больше −8. Когда спрашивают «какая касательная круче?», обычно подразумевают величину |f′(x)|, если речь идёт об отклонении от горизонтали. Поэтому −8 даёт более крутую нисходящую касательную, чем +3 — восходящую, хотя −8 меньше +3 как число. В решениях полезно записывать отдельно оба вида сравнения, если формулировка кажется двусмысленной.

Слово «таблица знаков» иногда относится к интервалам, а не к отдельным точкам. Если в таблице сказано f′(x)>0 на (1;4), то в любых двух выбранных точках этого интервала производные положительны, но их величины неизвестны. Кроме того, знаки на соседних интервалах не гарантируют нулевое значение f′ на границе: нужно отдельно проверить существование производной в граничной точке. При изломе производная может отсутствовать.

Постройте мысленно два допустимых примера для одного и того же набора плюсов: f′(a)=1, f′(b)=100 и f′(a)=100, f′(b)=1. Оба согласованы со знаками «+» и «+», но ответы на вопрос о большем наклоне противоположны. Следовательно, отсутствие численных данных — не ошибка ученика, а реальное ограничение условия. Корректный ответ «недостаточно сведений» ценнее случайной догадки.

Если в таблице дополнительно даны числовые интервалы возможных производных, вывод иногда всё-таки возможен без точных значений. Например, при f′(a)∈[2;3] и f′(b)∈[5;7] второй наклон строго больше. Но при перекрывающихся диапазонах [2;6] и [4;8] нельзя утверждать фиксированный порядок: значения 6 и 4 или 2 и 8 допустимы одновременно. Проверяйте пересечение диапазонов прежде, чем писать знак неравенства.