Проверка применения свойств интеграла для графика с частями ниже оси — рабочий лист для 11 класса

Учебная цель: отличать алгебраическую площадь (значение интеграла) от суммы геометрических площадей. На участках ниже оси Ox интеграл отрицателен. Данные в карточках полностью задают тип и размеры фигур, поэтому рисунок необязателен: их можно восстановить на клетчатой бумаге.

Разобранная модель: две части одного графика

На отрезке [0; 2] график образует над Ox треугольник с основанием 2 и высотой 6. На [2; 5] находится треугольник ниже Ox с основанием 3 и высотой 3. Тогда интегралы по частям равны 6 и −9/2, поскольку S = bh/2 и вторую часть надо взять со знаком минус.

Итак, ∫₀⁵ f(x) dx = 6 − 9/2 = 3/2, а геометрическая площадь между графиком и осью равна 6 + 9/2 = 21/2. Обратная проверка: 3/2 + 9/2 = 6, то есть из суммарного интеграла восстановили положительную часть.

Карточка A. Как знак меняет итог

1. Для разобранной модели A найдите отдельно оба интеграла по участкам.
2. Каков интеграл A по всему [0; 5]? Запишите сумму со знаком.
3. Какова обычная площадь фигур A без знака?
4. Ученик объявил ответ 21/2 для определённого интеграла A. Что он посчитал и как исправить?
5. Из модели A удалили отрицательный треугольник, но оставили положительный. Сколько теперь даёт интеграл?
6. Положительную площадь A уменьшили до 4, отрицательную сохранили 9/2. Найдите новый интеграл.

Карточка B. Прямоугольник и треугольник

На [−2; 0] график расположен ниже Ox и образует прямоугольник ширины 2 и высоты 2; на [0; 4] он образует над осью треугольник с основанием 4 и высотой 3. Не следует искусственно соединять разные участки одной прямой: форма дана только для вычисления каждой знаковой площади.

7. Определите интеграл на [−2; 0] и поясните знак.
8. Найдите интеграл на [0; 4] через площадь треугольника.
9. Вычислите интеграл по [−2; 4] и обычную площадь обеих фигур.
10. По общему интегралу 2 и отрицательной части −4 восстановите положительную часть и проверьте её по размерам.

Карточка C. Когда отрицательная часть преобладает

На [0; 3] расположен треугольник выше оси Ox с основанием 3 и высотой 2; на [3; 5] — прямоугольник ниже оси высотой 4. Сначала получите площадь каждого участка, затем вычислите интеграл.

11. Найдите ∫₀³ f(x) dx для карточки C.
12. Найдите ∫₃⁵ f(x) dx для карточки C.
13. Вычислите ∫₀⁵ f(x) dx. Почему результат не равен 11?
14. Известно, что ∫₀⁵ f(x) dx = −5, а положительная часть имеет площадь 3. Восстановите величину площади ниже оси.

Карточка D. Трапеция вместо треугольника

На [0; 1] прямоугольник ниже Ox имеет площадь 3. На [1; 4] над Ox расположена трапеция с параллельными вертикальными сторонами длиной 2 и 4 и горизонтальным расстоянием 3. Её площадь равна 9.

15. Запишите интеграл по [0; 1] и [1; 4] раздельно.
16. Вычислите ∫₀⁴ f(x) dx и проверьте восстановлением положительной площади.

Подробный ключ

• № 1. 6 и −9/2: первый треугольник над осью, второй — ниже.
• № 2. 3/2 = 6 − 9/2. Это сумма со знаком, а не сумма модулей.
• № 3. 21/2 = 6 + 9/2: геометрическая площадь суммируется без отрицательных слагаемых.
• № 4. Посчитал геометрическую площадь. Правильное значение интеграла — 3/2.
• № 5. 6: на оставшемся участке график над Ox, отрицательных частей нет.
• № 6. −1/2 = 4 − 9/2. Отрицательный результат возможен, если часть ниже оси больше.
• № 7. −4 = −(2·2), так как прямоугольник ниже Ox.
• № 8. 6 = (4·3)/2, треугольник над осью.
• № 9. Интеграл 2 = −4+6; площадь без знака 10 = 4+6.
• № 10. 6 = 2 − (−4); проверка: (4·3)/2=6.
• № 11. 3 = 3·2/2: треугольник над Ox.
• № 12. −8 = −2·4: прямоугольник под Ox.
• № 13. −5 = 3−8; число 11 — сумма геометрических площадей, оно не учитывает знак.
• № 14. 8. Уравнение 3−S = −5 даёт S=8; обратная проверка 3−8=−5.
• № 15. −3 и 9 соответственно: первый участок под осью, второй над ней.
• № 16. 6 = −3+9. Обратно: 6−(−3)=9; это совпадает с площадью трапеции (2+4)·3/2.

Что делать, если результат неожиданно отрицательный

Проверьте четыре вещи: положение фигуры относительно Ox, правильное определение основания и высоты, знак каждого частичного интеграла и действие сложения. Нельзя превращать отрицательный интеграл в положительный только потому, что в вопросе упомянута «площадь». Если спрашивают геометрическую площадь, берут модули и суммируют; если определённый интеграл — суммируют значения со знаком.

При самостоятельной проверке нарисуйте четыре горизонтальных отрезка оси Ox, подпишите над каждым участком «+» или «−» и укажите площадь. Затем заново пройдите решение в обратном порядке: от общего интеграла и одной известной части к неизвестной. Успешная обратная проверка показывает, что ошибка знака отсутствует.

Для задачи с непрерывной функцией график можно достроить с нужными вершинами треугольников или трапеции. Однако на итоговые интегралы по известным частям форма соединения за пределами указанных отрезков не влияет. Вся работа посвящена применению аддитивности с учётом частей графика под осью.

Проверка в обратном направлении

Для всех четырёх моделей полезно выполнить дополнительную работу: попробуйте восстановить неизвестную положительную площадь по общему интегралу и известной отрицательной площади. Например, если I=−5 и площадь нижней части составляет 8, то уравнение I=S₊−8 даёт S₊=3. Именно поэтому не следует сразу брать модуль от ответа −5: модуль результата не равен, вообще говоря, площади верхней или нижней части.

Другая форма обратной проверки — заменить часть фигуры более высокой. Если нижний прямоугольник ширины 2 стал выше с 4 до 5, его вклад изменился с −8 до −10. Интеграл по всему отрезку уменьшится ровно на 2, хотя обычная площадь увеличится на 2. Проверка на изменение данных особенно хорошо выявляет, понял ли ученик роль знака.

Обратите внимание на единицы измерения. Если по горизонтали отложено время в секундах, а по вертикали скорость в метрах в секунду, интеграл имеет размерность метров и описывает перемещение со знаком. Сумма модулей отдельных перемещений описывает пройденный путь при неизменном знаке скорости внутри каждого выделенного участка. Подмена перемещения путём аналогична подмене определённого интеграла геометрической площадью.

Дополнительные вопросы по тому же рисунку

Без подсчёта новых интегралов определите, какой из четырёх графиков имеет самый большой модуль отрицательного вклада. Ответ: модель C (8); у моделей A, B, D эти величины равны соответственно 9/2, 4 и 3. Это сравнение не требует сравнивать ширину фигур отдельно от их высоты: важно произведение геометрических размеров.

Какая модель имеет наибольшую геометрическую площадь? У C площадь 11, у A — 21/2, у B — 10, у D — 12. Поэтому именно D имеет наибольшую суммарную геометрическую площадь 12, несмотря на то что её интеграл равен 6. Ещё раз видно, почему по одному только интегралу нельзя восстановить всю геометрическую площадь без сведений о знаках.

Представьте, что график каждой модели целиком отражён относительно оси Ox. Тогда все определённые интегралы изменят знак, а геометрические площади останутся прежними. Для A новый интеграл равен −3/2 при прежней площади 21/2; для C новый интеграл +5 при прежней площади 11. Это корректная проверка: отражение меняет знак каждой высоты, но не её абсолютную величину.

При работе в классе попросите ученика объяснить каждую строку знаковой таблицы словами, а не только числом. Сильное объяснение указывает участок, форму фигуры, площадь и причину выбора плюса или минуса. Если получено отрицательное итоговое число, не надо объявлять результат ошибкой: оно вполне может быть правильным для определённого интеграла.