Проверка применения свойств интеграла при разбиении отрезка на участки: самостоятельная работа, 11 класс

Три контрольных вопроса — начните без подсказки

1. Известно ∫₀³ f(x) dx = 7 и ∫₃⁵ f(x) dx = −2. Найдите ∫₀⁵ f(x) dx.
2. Дано ∫₋₂¹ g(x) dx = −4 и ∫₋₂⁴ g(x) dx = 9. Найдите ∫₁⁴ g(x) dx.
3. Дано ∫₂⁷ h(x) dx = 6, ∫₂⁴ h(x) dx = 10. Сколько равно ∫₄⁷ h(x) dx?

Новые задачи: вычислите или исправьте знак

Можно пользоваться равенством ∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫ᵦᶜ f для интегрируемой функции. Если один из пределов изменён, отдельно проверьте направление.

4. Дано ∫₅¹ p(x) dx = −8, ∫₁⁰ p(x) dx = 3. Найдите ∫₅⁰ p(x) dx.
5. Проверьте разбиение ∫₀⁴ x dx = ∫₀² x dx + ∫₂⁴ x dx; получите число.
6. Получите ∫₋₁² 2x dx как сумму интегралов на [−1;0] и [0;2].
7. При ∫₁⁴ f(x) dx = 11 запишите значение ∫₁² f + ∫₂⁴ f.
8. При ∫₂³ f(x) dx = 6 определите ∫₃² f(x) dx и сумму двух интегралов.
9. Дано ∫₀⁶ f(x) dx = 5 и ∫₀² f(x) dx = −1. Найдите ∫₂⁶ f(x) dx.
10. При ∫₈⁴ f(x) dx = −9 определите ∫₄⁸ f(x) dx.
11. Дано ∫₋₃⁻¹ f(x) dx = 2 и ∫₋₁⁰ f(x) dx = −8. Найдите ∫₋₃⁰ f(x) dx.
12. Если ∫₁³ f = 4 и ∫₃⁷ f = 6, найдите ∫₇¹ f.

Быстрый ключ

• № 1. 5 = 7 + (−2).
• № 2. 13 = 9 − (−4).
• № 3. −4 = 6−10.
• № 4. −5 = −8+3.
• № 5. 8 = 2+6: по первообразной x²/2.
• № 6. 3 = (−1)+4: первообразная x².
• № 7. 11: точка 2 лишь разбивает исходный отрезок.
• № 8. −6 и 0: направление поменялось.
• № 9. 6 = 5−(−1).
• № 10. 9, так как пределы переставлены.
• № 11. −6 = 2−8.
• № 12. −10 = −(4+6).

В № 2 и № 9 неизвестный участок получается вычитанием, потому что известна общая сумма. В № 7 не требуется знать каждую часть по отдельности: их сумма задана прямо. В № 12 после сложения обязательно меняем знак из-за перестановки крайних пределов.

Критерий: по одному баллу за каждое верное вычисление; 11–12 — уверенное владение свойством, 8–10 — повторить смену границ, меньше 8 — сначала потренироваться в сложении значений соседних участков. Число отрицательных слагаемых не влияет на применимость формулы.

Памятка после проверки

Разбиение отрезка не должно менять итог: если точка b находится между a и c, то ∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫ᵦᶜ f. Когда известна целая сумма и одна часть, неизвестная часть находится вычитанием. При обратном порядке пределов каждый соответствующий интеграл меняет знак.

Например, отрицательное значение одного участка не означает ошибку: в № 1 к числу 7 прибавляется −2, а в № 11 — к числу 2 прибавляется −8. Ответы 5 и −6 верны именно потому, что учитывают знаки всех частей. Разбивать отрезок разрешается на любое конечное число частей, если функция интегрируема.

Совет: попробуйте для № 3 начертить числовую ось с отметками 2, 4 и 7 и подпишите уже известные интегралы над соответствующими промежутками. Так становится ясно, что неизвестная величина — разность общих накопленных значений, а не их сумма.