Восстановление границы интегрирования для кусочно заданной функции — задания с разбором, 11 класс

Рабочий лист для двух самостоятельных вариантов. В обоих случаях требуется восстановить верхний предел t, а не вычислить интеграл с уже указанными границами. Функции положительны на заданной области; поэтому накопленный интеграл возрастает и подходящий t, если он существует, единственный.

Короткая памятка для печати

Если кусочно заданная функция меняет формулу в точке c, надо сначала вычислить интеграл на уже пройденном участке, а затем прибавить часть до t. Для t≤c и t>c используются разные выражения. Ответ обязательно проверяйте подстановкой в исходную сумму.

Пограничный случай t=c относится к обеим формулам по значению интеграла, если функция интегрируема. Но при решении обязательно проверьте допустимый отрезок для t. Ошибка «верный ответ в неправильной ветви» так же существенна, как вычислительная.

Вариант A. Постоянные скорости накопления

Задана функция: f(x)=2 при 0≤x≤3; f(x)=1 при 3<x≤7. Во всех восьми заданиях t∈[0;7], требуется решить ∫₀ᵗ f(x) dx = S.

Подсказка: при t≤3 интеграл равен 2t; при t>3 равен 6+(t−3)=t+3. При t=3 обе формулы дают 6, поэтому переход между ветвями согласован.

1. Восстановите t, если S = 2. Запишите выбор ветви и проверку.
2. Восстановите t, если S = 4. Запишите выбор ветви и проверку.
3. Восстановите t, если S = 6. Запишите выбор ветви и проверку.
4. Восстановите t, если S = 7. Запишите выбор ветви и проверку.
5. Восстановите t, если S = 9. Запишите выбор ветви и проверку.
6. Восстановите t, если S = 10. Запишите выбор ветви и проверку.
7. Восстановите t, если S = 5. Запишите выбор ветви и проверку.
8. Восстановите t, если S = 17/2. Запишите выбор ветви и проверку.

Вариант B. Другой масштаб и новая точка разбиения

Задана функция: g(x)=3 при −2≤x≤0; g(x)=1/2 при 0<x≤4. Требуется найти t∈[−2;4] по условию ∫₋₂ᵗ g(x) dx = S.

Если t≤0, то S=3(t+2); если t>0, то S=6+t/2. Число 6 — интеграл по всему первому участку. Его нельзя пропускать, переходя к формуле второй ветви.

9. Определите верхнюю границу t, если S = 3. Укажите допустимый отрезок.
10. Определите верхнюю границу t, если S = 6. Укажите допустимый отрезок.
11. Определите верхнюю границу t, если S = 7. Укажите допустимый отрезок.
12. Определите верхнюю границу t, если S = 8. Укажите допустимый отрезок.
13. Определите верхнюю границу t, если S = 3/2. Укажите допустимый отрезок.
14. Определите верхнюю границу t, если S = 13/2. Укажите допустимый отрезок.
15. Определите верхнюю границу t, если S = 15/2. Укажите допустимый отрезок.
16. Определите верхнюю границу t, если S = 9/2. Укажите допустимый отрезок.

Подробный ключ для учителя: вариант A

• № 1. S=2≤6, значит 2t=2, откуда t=1. Проверка: интеграл на [0;1] действительно равен 2.
• № 2. S=4≤6, значит 2t=4, откуда t=2. Проверка: интеграл на [0;2] действительно равен 4.
• № 3. S=6≤6, значит 2t=6, откуда t=3. Проверка: интеграл на [0;3] действительно равен 6.
• № 4. S=7>6, используем t+3=7: t=4. Проверка: сумма 6+(t−3) при t=4 равна 7.
• № 5. S=9>6, используем t+3=9: t=6. Проверка: сумма 6+(t−3) при t=6 равна 9.
• № 6. S=10>6, используем t+3=10: t=7. Проверка: сумма 6+(t−3) при t=7 равна 10.
• № 7. S=5≤6, значит 2t=5, откуда t=5/2. Проверка: интеграл на [0;5/2] действительно равен 5.
• № 8. S=17/2>6, используем t+3=17/2: t=11/2. Проверка: сумма 6+(t−3) при t=11/2 равна 17/2.

Подробный ключ для учителя: вариант B

• № 9. S=3≤6: 3(t+2)=3, следовательно t=−1. Оно лежит в [−2;0], подстановка возвращает 3.
• № 10. S=6≤6: 3(t+2)=6, следовательно t=0. Оно лежит в [−2;0], подстановка возвращает 6.
• № 11. S=7>6: 6+t/2=7, значит t=2. Оно лежит в [0;4], обратная проверка даёт 7.
• № 12. S=8>6: 6+t/2=8, значит t=4. Оно лежит в [0;4], обратная проверка даёт 8.
• № 13. S=3/2≤6: 3(t+2)=3/2, следовательно t=−3/2. Оно лежит в [−2;0], подстановка возвращает 3/2.
• № 14. S=13/2>6: 6+t/2=13/2, значит t=1. Оно лежит в [0;4], обратная проверка даёт 13/2.
• № 15. S=15/2>6: 6+t/2=15/2, значит t=3. Оно лежит в [0;4], обратная проверка даёт 15/2.
• № 16. S=9/2≤6: 3(t+2)=9/2, следовательно t=−1/2. Оно лежит в [−2;0], подстановка возвращает 9/2.

Сверка двух вариантов

В варианте A для t=3 получаем ровно 6: перенос точки из одной ветви в другую не меняет ответ. В варианте B t=0 также соответствует S=6. Эти две границы удобны для взаимной проверки в парах.

При проверке обращайте внимание не только на конечное число: ученик должен (1) указать, в какой части определения находится t, (2) записать правильную сумму интегралов, (3) проверить полученную величину. Учитывайте, что при t меньше начала области или больше её конца исходная задача решения не имеет.

Разница между вариантами — в начале отсчёта, в размере скачка скорости накопления и в алгебраическом выражении второй ветви. Подстановка одной формулы вместо другой сразу приводит к неверным решениям; поэтому механически перенести ответы из варианта A в B нельзя.