Восстановление параметра уравнения для прямой через две точки — упражнения разной сложности, 11 класс

Сюжет: инженер размечает три прямолинейных участка кабельной трассы в трёхмерной системе координат. Координаты даны в метрах. Требуется найти пропущенный коэффициент в параметрическом уравнении прямой, которое должно проходить через две заданные точки.

Исходные измерения

Параметр t — не обязательно время: здесь это произвольное действительное число. Вектор B − A должен быть кратен направляющему вектору в записи прямой. Для каждого участка сначала находят разность координат, затем один и тот же множитель t по известным компонентам. Если для разных координат получились разные t, записанная прямая неверна.

Часть A. Восстановление параметра и проверка трассы

1. Для участка I выпишите вектор AB.
2. Найдите t при достижении конца участка I по x и z.
3. Восстановите k на участке I по координате y.
4. Найдите точку участка I при t = 3.
5. Лежит ли точка (4; 3; 6) на прямой участка I?
6. Для участка II восстановите вектор AB и укажите его направление без общего множителя.
7. По участку II восстановите t и k.
8. Для участка II найдите точку при t = 1.
9. Проверьте, лежит ли точка (1; −4; 13) на участке II как на бесконечной прямой.

Часть B. Контроль реальности геометрической модели

1. Вычислите вектор AB участка III.
2. Восстановите k и параметр t для конца участка III.
3. Укажите точку III при t = 2 и проверьте по всем координатам.
4. На каком участке направление имеет отрицательную компоненту z?
5. Можно ли заменить параметр t на 2s и сохранить те же геометрические прямые?
6. Верно ли, что точки при t = 7 входят в физические отрезки AB всех трёх участков?

От чертежа к координатной записи: смысл вычислений

Рассмотрим участок I без готового ответа. Сначала замечаем, что от начальной до конечной точки координата x увеличилась на 6, координата y — на 12, координата z — на 6 метров. Этот вектор — не просто три несвязанных числа: его компоненты должны одновременно описываться одним параметром. В предлагаемой записи для x и z коэффициенты равны единице, поэтому конец трассы достигается при t = 6. Только после этого имеет смысл искать неизвестную y-компоненту: умножение её на 6 должно дать прирост 12.

Для участка II полезно сначала исключить грубую ошибку знака: от y = 2 мы переходим к y = −7, то есть изменение составляет −9, а не +9. Поэтому при положительном параметре t координата направляющего вектора по оси y обязана быть отрицательной. Иначе прямая будет развёрнута не в ту сторону в параметрической записи, привязанной к исходной точке и известным положительным компонентам.

Для участка III x-координата уменьшается, хотя y и z возрастают. Это не ошибка и не делает геометрическую модель невозможной: пространственная прямая может двигаться в отрицательном направлении одной оси и в положительном направлении двух других. Для контроля полезно вывести параметр независимо по y и z; обе координаты должны привести к t = 6.

Как проверять результат без повторного решения

Проверка восстановления k состоит из двух независимых частей. Во-первых, вектор разности B − A должен быть ненулевым и кратным найденному направлению d. Во-вторых, подставляя один и тот же параметр конца участка во все три координаты, необходимо получить точку B без округлений. Проверка только одной координаты недостаточна: ошибочное уравнение способно точно попадать в x и при этом пропускать конечную точку по y.

Не путайте числовой коэффициент при параметре с самим параметром. Например, коэффициент k может быть отрицательным, а параметр t — положительным. Такое сочетание описывает движение в отрицательном направлении соответствующей координатной оси и не противоречит условию задачи.

Подробный ключ и решения

1. (6; 12; 6) — покоординатная разность B − A.
2. t = 6. 2 + t = 8 и 4 + t = 10.
3. k = 2. Из −1 + 6k = 11 следует 6k = 12.
4. (5; 5; 7). (2; −1; 4) + 3(1; 2; 1).
5. Да. По x t = 2, по y −1 + 2·2 = 3, по z 4 + 2 = 6.
6. AB = (6; −9; 12), примитивное направление (2; −3; 4). Делим координаты на 3.
7. t = 3, k = −3. Из −3 + 2t = 3 получаем t = 3; 2 + 3k = −7.
8. (−1; −1; 9). Прибавляем (2; −3; 4) к A.
9. Да. t = 2: −3 + 4 = 1, 2 − 6 = −4, 5 + 8 = 13.
10. (−6; 12; 18). Это B − A.
11. k = −1, t = 6. По y 2t = 12; по x 4 + 6k = −2.
12. (2; 4; 4). (4; 0; −2) + 2(−1; 2; 3).
13. Ни на одном. У I z-компонента +1, у II +4, у III +3.
14. Да, если одновременно в уравнении заменить t на 2s. Например, I: A + s(2; 4; 2); это та же бесконечная прямая.
15. Нет. Концы имеют t = 6, 3, 6 соответственно; t = 7 задаёт точки продолжения прямых, а не отрезков.

Почему сравнивают именно вектор AB? Прямая однозначно задаётся точкой A и ненулевым направлением, параллельным AB. Если у кандидата неверное значение k, его направление не будет параллельно AB, а следовательно, прямая не сможет проходить сразу через обе контрольные точки.

Проверка масштаба: в координатной модели все три компоненты измеряются в метрах. Параметр t здесь безразмерен, если направляющий вектор задан в метрах на единицу параметра. При смене масштаба направляющего вектора численное t меняется, но множество точек прямой сохраняется.