Карточка с объяснениями: решение линейного уравнения со скобками — 7 класс

В этом практикуме скобки — главный источник ошибок, поэтому сначала закрепим правило раскрытия, затем перейдём к одновременной работе с двумя скобками. Задания рассчитаны на 7 класс и разделены по приёмам, а не просто по возрастанию чисел. Все выражения линейные, ни одно не требует квадратных уравнений.

Как раскрывать скобки

Если перед скобкой стоит положительный множитель, он умножает каждое слагаемое внутри. Например, 3(x − 2) = 3x − 6. Если перед скобкой стоит минус, знаки всех слагаемых меняются: −(x − 5) = −x + 5. При умножении на отрицательное число оба правила действуют одновременно: −2(x − 3) = −2x + 6.

Удобная последовательность: (1) перепишите уравнение; (2) раскройте каждую скобку; (3) приведите подобные слагаемые; (4) отделите неизвестное; (5) проверьте найденный корень подстановкой именно в исходную запись.

Два разобранных примера

Пример 1. 3(x + 4) = 27. Раскрываем: 3x + 12 = 27. Вычитаем 12: 3x = 15. Значит, x = 5. Проверка: 3(5 + 4) = 27.

Пример 2. 2(x − 1) − 3(x + 2) = −10. Раскрываем скобки: 2x − 2 − 3x − 6 = −10, то есть −x − 8 = −10. Тогда −x = −2, поэтому x = 2. Проверка: 2(2 − 1) − 3(2 + 2) = 2 − 12 = −10.

Блок 1 — одна скобка, один множитель

В первых четырёх уравнениях сначала раскройте скобки в черновике. Подчеркните знаки перед скобкой и проверьте, правильно ли умножили каждое слагаемое.

1. 2 · (x + 5) = 26
2. 3 · (x − 4) = 21
3. 5 · (x + 2) = 0
4. −2 · (x − 6) = 18

Блок 2 — минус перед скобкой и коэффициент внутри

В номерах 5–8 следите, чтобы коэффициент умножал и неизвестное, и свободный член. В записи 7 − (x + 3) число 7 не является множителем скобки.

5. 4 · (2 · x + 1) = 36
6. 3 · (3 · x − 2) = 39
7. 7 − (x + 3) = 2
8. 18 − 2 · (x − 1) = 8

Блок 3 — свободные числа после раскрытия

Сначала приведите левую часть к виду ax + b, только потом переносите число. Старайтесь не выполнять одновременно раскрытие скобок и перенос: так легче увидеть ошибку.

9. 5 · (x − 2) + 3 = 18
10. 4 · (x + 1) − 7 = 17
11. 2 · (3 · x − 5) + 4 = 24
12. 6 − 3 · (x + 2) = −15

Блок 4 — две скобки

Когда нужно раскрыть две скобки, полезно отмечать промежуточный шаг двумя строками. Для первых двух номеров этого блока обязательно выпишите равенство после распределения множителей.

13. 2 · (x + 4) + 3 · (x − 1) = 30
14. 4 · (x − 2) − 2 · (x + 3) = 6
15. 3 · (2 · x + 5) − (x − 2) = 42
16. −2 · (3 · x − 1) + 5 · (x + 2) = 15

Блок 5 — комбинированные задания

Здесь можно объединять подобные члены только после раскрытия скобок. Проверьте результат обратным действием: если получился x = −13, подставьте его с минусом, заключив в скобки.

17. 3 · (x − 1) + 2 · (x + 4) = 30
18. 5 · (2 − x) + 4 · (x − 1) = 19
19. 2 · (4 · x − 3) − 3 · (x + 2) = 13
20. 7 · (x − 2) − 4 · (x + 1) = 9

Финальный контроль

Номера 21–22 проверяют, умеете ли вы правильно трактовать минус перед скобкой, когда перед ним не написан отдельный множитель.

21. 9 − (2 · x − 5) = 0
22. 4 − 2 · (3 − x) = 16

Ключ учителя

В каждом номере уравнение имеет единственный корень. Проверяйте не только его, но и раскрытие скобок в письменной работе.

1. № 1: x = 8. Подстановка: обе части равны 26.
2. № 2: x = 11. Подстановка: обе части равны 21.
3. № 3: x = −2. Подстановка: обе части равны 0.
4. № 4: x = −3. Подстановка: обе части равны 18.
5. № 5: x = 4. Подстановка: обе части равны 36.
6. № 6: x = 5. Подстановка: обе части равны 39.
7. № 7: x = 2. Подстановка: обе части равны 2.
8. № 8: x = 6. Подстановка: обе части равны 8.
9. № 9: x = 5. Подстановка: обе части равны 18.
10. № 10: x = 5. Подстановка: обе части равны 17.
11. № 11: x = 5. Подстановка: обе части равны 24.
12. № 12: x = 5. Подстановка: обе части равны −15.
13. № 13: x = 5. Подстановка: обе части равны 30.
14. № 14: x = 10. Подстановка: обе части равны 6.
15. № 15: x = 5. Подстановка: обе части равны 42.
16. № 16: x = −3. Подстановка: обе части равны 15.
17. № 17: x = 5. Подстановка: обе части равны 30.
18. № 18: x = −13. Подстановка: обе части равны 19.
19. № 19: x = 5. Подстановка: обе части равны 13.
20. № 20: x = 9. Подстановка: обе части равны 9.
21. № 21: x = 7. Подстановка: обе части равны 0.
22. № 22: x = 9. Подстановка: обе части равны 16.

Разбор ошибок после самостоятельной попытки

№ 7. Правильно: 7 − (x + 3) = 7 − x − 3 = 4 − x; значит, 4 − x = 2 и x = 2. Неверное 7 − x + 3 получилось бы при изменении знака только одного слагаемого.

№ 14. 4(x − 2) − 2(x + 3) = 6 раскрывается как 4x − 8 − 2x − 6 = 6. Поэтому 2x − 14 = 6, x = 10. После «−2» оба слагаемых скобки участвуют в умножении.

№ 18. 5(2 − x) + 4(x − 1) = 19: 10 − 5x + 4x − 4 = 19, то есть 6 − x = 19 и x = −13. Важно не заменять −5x на +5x.

№ 21. 9 − (2x − 5) = 0 превращается в 9 − 2x + 5 = 0. После переноса 2x = 14, x = 7. Проверьте: 9 − (14 − 5) = 0.

Самопроверка и повторение

Разделите ошибки на три типа: неверно распределён множитель, потерян минус перед скобкой, неверно приведены подобные. Для первого типа повторите номера 4, 5, 12; для второго — 7, 21, 22; для третьего — 13–20. При повторном решении не переписывайте готовый ключ: начните с исходной строки. Это позволит увидеть, на каком именно преобразовании возникла ошибка.

Для учителя: можно назначить блоки 1–3 как обязательную часть, а блоки 4–5 как повышение сложности. Ответы печатайте отдельно от ученических заданий. Для индивидуального занятия достаточно одного блока и обсуждения причин двух типичных ошибок.

Дополнительная проверка: равносильность строк

Пример: 4(x + 1) − 7 = 17. Промежуточная запись 4x + 4 − 7 = 17 верна для любого x и потому равносильна исходной. Далее 4x − 3 = 17, 4x = 20, x = 5. Если заменить первое выражение на 4x + 1 − 7, получится уже другое уравнение, поскольку множитель 4 не был распределён на единицу. Исправьте такую запись, не заглядывая в ключ.

Для закрепления ученик может объяснить, почему равенство −2(x − 6) = −2x + 12 верно при любом x. Это подготовит его к работе с уравнениями, содержащими несколько групп скобок.

Мини-исследование: куда исчезает неизвестное?

Возьмите уравнение 2(x + 4) + 3(x − 1) = 30. После раскрытия получится 2x + 8 + 3x − 3 = 30. Приведём подобные: 5x + 5 = 30; значит 5x = 25 и x = 5. Теперь посмотрите на уравнение 4(x − 2) − 2(x + 3) = 6. Здесь коэффициенты после раскрытия не складываются, а вычитаются: 4x − 8 − 2x − 6 = 6. Это даёт 2x = 20 и x = 10. Разные действия со скобками требуют разных знаков, хотя окончательный приём — решение линейного уравнения — одинаков.

Попросите ученика придумать собственный пример с двумя скобками и отрицательным множителем; сначала задайте желаемый корень, например x = 3, а затем составьте правую часть подстановкой. Такое упражнение учит не только вычислять, но и самостоятельно проверять правильность составленного задания.