Диагностика навыка: уравнения с неизвестным по обе стороны равенства — 7 класс

Этот углублённый тренажёр проверяет, умеет ли ученик решать уравнения, в которых неизвестное присутствует слева и справа от знака равенства. Простое угадывание результата не считается полноценным решением: нужно выполнить одинаковые действия с обеими частями и сохранить равенство. Все 27 предложенных уравнений имеют единственный корень; случаи «корней нет» и «корней бесконечно много» изучаются в другой карточке.

Диагностическая идея

Рассмотрим равенство 5x + 3 = 2x + 18. Вычитаем 2x из обеих частей и получаем 3x + 3 = 18. Вычитаем 3: 3x = 15, значит x = 5. Можно перенести 5x вправо, но тогда нужно внимательно работать с отрицательным коэффициентом. Существует несколько правильных маршрутов, и все они дают один корень.

Общий принцип: удобно собрать члены с x в той части, где останется положительный коэффициент. Это не обязательное правило, а способ уменьшить число ошибок. Дальше переносим свободные числа в противоположную часть, приводим подобные и делим на коэффициент при x.

Ступень 1. Перенесите неизвестные в одну сторону

Задания 1–8. Не начинайте с деления: сперва нужно устранить x из одной части. Подсказка, которую стоит прочесть только после собственной попытки: число, стоящее перед x, можно рассматривать как количество одинаковых слагаемых.

1. 5 · x + 3 = 2 · x + 18
2. 7 · x − 4 = 3 · x + 20
3. 9 · x + 1 = 4 · x − 14
4. 2 · x + 13 = 6 · x − 7
5. 11 − 3 · x = x + 23
6. 8 · x − 19 = 2 · x + 11
7. 4 · x − 7 = 9 · x + 8
8. 12 + 5 · x = 3 · x + 30

Ступень 2. Минусы и перестановка сторон

Задания 9–12. Здесь лучше выбрать сторону так, чтобы коэффициент при x после преобразования был положительным. Однако и отрицательный коэффициент допустим — тогда деление выполняйте вместе со знаком.

9. 6 · x + 25 = 10 · x − 3
10. 20 − 2 · x = 5 · x − 1
11. 3 · x − 12 = 8 · x + 13
12. 17 · x + 9 = 12 · x − 6

Ступень 3. Скобки до переноса

Задания 13–18. В этих уравнениях сначала раскройте скобки, сохраняя равенство. Особое внимание обратите на запись «−(2x + 5)»: после раскрытия получается −2x − 5, а не −2x + 5.

13. 3 · (x + 2) = 2 · x + 15
14. 4 · (x − 3) = 2 · (x + 1)
15. 5 · (x + 1) − 3 = 2 · x + 20
16. 6 · x − (2 · x + 5) = x + 10
17. 2 · (3 · x − 4) = 4 · x + 16
18. 7 · (x − 2) = 3 · x − 30

Ступень 4. Несколько преобразований подряд

Задания 19–24. Работайте построчно: раскрытие, подобные члены, перенос, деление, подстановка. Не пропускайте шаг приведения подобных, иначе легко получить неверный коэффициент перед неизвестным.

19. 8 · x + 6 = 3 · (x − 3) + 20
20. 2 · (x + 7) − 5 = 4 · x + 1
21. 9 − 4 · (x − 2) = 3 · x + 24
22. 5 · (2 · x − 1) − 3 · x = 4 · (x + 3) + 4
23. 4 · (3 · x + 2) − 5 · (x − 1) = 2 · x + 28
24. 6 · (x − 2) + 3 · (x + 1) = 4 · x + 16

Ступень 5. Итоговые три уравнения

Задания 25–27. Выполните без подсказок, затем письменно объясните, почему выполненный вами перенос не изменяет корней уравнения.

25. 15 − 2 · (x + 4) = 5 · x − 7
26. 3 · (2 · x − 7) + 5 = 2 · (x + 3) − 6
27. 8 · (x − 1) − 3 · (x + 2) = 2 · x + 1

Подсказки после первой попытки

Для № 4: если перенести 2x вправо, получите 13 = 4x − 7. Для № 11: удобнее перенести 3x вправо, а 13 — влево. Для № 16: сначала преобразуйте 6x − (2x + 5) в 4x − 5. Для № 23: раскрытие обеих скобок даёт слева 12x + 8 − 5x + 5.

Ключ — корни всех уравнений

Сверять только значение x недостаточно: если в работе ошибка, попросите отметить первую неверную строку и самостоятельно восстановить дальнейшее решение.

1. № 1: x = 5. Подстановка: обе части равны 28.
2. № 2: x = 6. Подстановка: обе части равны 38.
3. № 3: x = −3. Подстановка: обе части равны −26.
4. № 4: x = 5. Подстановка: обе части равны 23.
5. № 5: x = −3. Подстановка: обе части равны 20.
6. № 6: x = 5. Подстановка: обе части равны 21.
7. № 7: x = −3. Подстановка: обе части равны −19.
8. № 8: x = 9. Подстановка: обе части равны 57.
9. № 9: x = 7. Подстановка: обе части равны 67.
10. № 10: x = 3. Подстановка: обе части равны 14.
11. № 11: x = −5. Подстановка: обе части равны −27.
12. № 12: x = −3. Подстановка: обе части равны −42.
13. № 13: x = 9. Подстановка: обе части равны 33.
14. № 14: x = 7. Подстановка: обе части равны 16.
15. № 15: x = 6. Подстановка: обе части равны 32.
16. № 16: x = 5. Подстановка: обе части равны 15.
17. № 17: x = 12. Подстановка: обе части равны 64.
18. № 18: x = −4. Подстановка: обе части равны −42.
19. № 19: x = 1. Подстановка: обе части равны 14.
20. № 20: x = 4. Подстановка: обе части равны 17.
21. № 21: x = −1. Подстановка: обе части равны 21.
22. № 22: x = 7. Подстановка: обе части равны 44.
23. № 23: x = 3. Подстановка: обе части равны 34.
24. № 24: x = 5. Подстановка: обе части равны 36.
25. № 25: x = 2. Подстановка: обе части равны 3.
26. № 26: x = 4. Подстановка: обе части равны 8.
27. № 27: x = 5. Подстановка: обе части равны 11.

Четыре полностью разобранных решения

№ 4. 2x + 13 = 6x − 7. Вычитаем 2x: 13 = 4x − 7. Прибавляем 7: 20 = 4x. Следовательно, x = 5. Проверка: 2 · 5 + 13 = 23 и 6 · 5 − 7 = 23.

№ 11. 3x − 12 = 8x + 13. Вычитаем 3x: −12 = 5x + 13. Вычитаем 13: −25 = 5x. Получаем x = −5. Проверка: −15 − 12 = −27 и −40 + 13 = −27.

№ 16. 6x − (2x + 5) = x + 10. Раскрываем: 6x − 2x − 5 = x + 10, значит 4x − 5 = x + 10. Вычитаем x: 3x − 5 = 10. Тогда x = 5. Проверка исходного уравнения: 30 − (10 + 5) = 15 и 5 + 10 = 15.

№ 23. 4(3x + 2) − 5(x − 1) = 2x + 28. Слева: 12x + 8 − 5x + 5 = 7x + 13. Получаем 7x + 13 = 2x + 28, откуда 5x = 15 и x = 3. Подстановка: 4 · 11 − 5 · 2 = 34; справа 6 + 28 = 34.

Карта типичных ошибок

Ошибка 1 — потеря знака. При переносе −7 из левой части в правую следует прибавить 7 к обеим частям, а не «перетащить без изменения». Ошибка 2 — перенос только одного x. В выражении 5x − 2x остаётся 3x, но число 5 без x не переносится. Ошибка 3 — неверное раскрытие. Минус перед скобкой распределяется на все члены. Ошибка 4 — отсутствие проверки. Ошибочно вычисленный корень может выглядеть правдоподобно, пока его не подставили в исходную запись.

Оценка и работа с пробелами

Один верно решённый пример — 1 балл. 24–27 баллов — высокий уровень; 19–23 — хорошие основы с отдельными недочётами; 14–18 — нужен повтор переносов и знаков; до 13 — рекомендуется пройти первые 8 номеров ещё раз с комментированием каждого действия. Если ошибки связаны со скобками, используйте номера 13–27, а не увеличивайте без необходимости количество однотипных простых уравнений.

Проверка для родителей: возьмите два ответа из ключа, попросите ребёнка объяснить путь решения и выполнить подстановку. Правильный путь может отличаться от приведённого — важно, чтобы каждое равносильное преобразование выполнялось с обеими частями уравнения.

Контроль хода решения, а не только конечного ответа

Пусть в задании 7x − 4 = 3x + 20 ученик получил x = 6. Проверка в исходном равенстве даёт 42 − 4 = 38 и 18 + 20 = 38. Но даже правильная подстановка не заменяет объяснения перехода 7x − 3x = 20 + 4: это две отдельные операции, выполняемые с обеими частями. Попросите назвать их словами.

Сравните две формы записи: 7x − 3x = 24 и 4x = 24. Они равносильны. А вот переход из 7x − 4 = 3x + 20 к 7x − 3x = 20 − 4 неверен, потому что −4 при переносе в правую часть должно стать +4. Эту ошибку легко обнаружить, подставив найденный корень в исходное уравнение.

Для углубления попросите самостоятельно переставить местами левую и правую части № 8 и убедиться, что корень остался прежним. Можно также выбрать два соседних уравнения и объяснить, почему их похожая форма не означает одинаковый ответ.

Проверочное задание для объяснения вслух

После выполнения всех пяти ступеней выберите № 25 и объясните, почему перенос членов с x в одну сторону удобнее, чем попытка сразу разделить обе части на один коэффициент. Проделайте все преобразования без пропуска строк. Затем возьмите № 27 и решите его повторно, на этот раз собирая неизвестные в другой части равенства. Если перенос выполнен правильно, оба решения дадут тот же корень.

В парной работе первый ученик пишет только следующий шаг, а второй проверяет, выполнено ли одинаковое действие с обеими частями. После каждой строки роли меняются. Этот способ помогает выявить незаметные ошибки с минусами до того, как они повлияют на финальный ответ. Если результат подстановки не совпадает, найдите первую строку, где равносильность нарушилась; переписывать всю работу с нуля не обязательно.