Уравнения с бесконечным числом решений для 7 класса — упражнения с решениями

Иногда после раскрытия скобок и переноса неизвестное «исчезает» из обеих частей. Это не всегда ошибка: результатом может быть тождество, верное при любом значении x. Такая ситуация возникает, например, при сравнении двух способов подсчёта одной суммы. Здесь мы учимся распознавать бесконечное множество решений и не путать его с уравнением, у которого решений нет.

Ситуация: одинаковые покупки двумя способами

Три набора содержат по x тетрадей и ещё по две ручки. Общее количество предметов можно записать как 3(x + 2) или как 3x + 6. Равенство 3(x + 2) = 3x + 6 верно при любом количестве тетрадей: x = 0, 1, 2 и так далее. Если рассматривать его как уравнение над всеми рациональными числами, оно верно для любого x; в контексте предметов допускаются только целые неотрицательные значения.

Математическая модель: три возможных исхода

После преобразований линейного уравнения могут получиться три разных ситуации. 0 = 0 — верное равенство для любого x, значит решений бесконечно много. 0 = 5 — ложное равенство, значит решений нет. 2x = 8 — один корень x = 4. Смотрите на конечное равенство, а не на то, остался ли x в какой-то промежуточной строке.

Ученическая часть: определите число решений

Для каждого из 16 уравнений укажите один из трёх ответов: «любое x», «решений нет» или точный единственный корень. Не используйте подбор значений вместо преобразований: несколько удачных подстановок ещё не доказывают тождество.

1. 3 · (x + 2) = 3 · x + 6
2. 5 · x − 8 = 2 · x + 3 · x − 8
3. 4 · (2 · x − 1) = 8 · x − 4
4. 7 · x + 12 = 7 · (x + 2)
5. 2 · (x + 5) = 2 · x + 9
6. 6 · x − 2 · (x + 3) = 4 · x − 6
7. 3 · (x − 4) = 2 · x + x − 12
8. 8 · x + 3 = 8 · x − 2
9. 5 · (x + 1) − 2 = 5 · x + 3
10. 4 · (x − 2) = 4 · x − 7
11. 9 · x − 3 · (2 · x + 1) = 3 · x − 3
12. 2 · (3 · x + 4) − 5 · x = x + 8
13. 6 · x + 1 = 5 · x + 5
14. 7 · (x − 1) = 4 · x + 2
15. 10 − 2 · (x + 3) = x + 1
16. 3 · (2 · x − 1) = 6 · x − 2

Перенос навыка — задания 17–20

17. Подберите число c, чтобы равенство 4(x + 3) = 4x + c было верным при любом x.
18. Подберите коэффициент a, чтобы равенство 2(3x − 5) = ax − 10 имело бесконечно много решений.
19. Найдите число q, чтобы равенство 7x + q = 7(x − 2) было тождеством.
20. Ученик утверждает, что 5(x − 1) = 5x − 6 имеет бесконечно много решений. Объясните ошибку и замените только число −6 так, чтобы получилась верная тождественная запись.

Ответы и короткие доказательства

Сначала выполните все задания, затем сравните уравнения после раскрытия скобок. Если одинаковые выражения стоят по обе стороны, получается тождество; если свободные числа различны при одинаковом коэффициенте x — решений нет.

1. № 1: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
2. № 2: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
3. № 3: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
4. № 4: нет решений. Коэффициенты при x равны, свободные члены различаются.
5. № 5: нет решений. Коэффициенты при x равны, свободные члены различаются.
6. № 6: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
7. № 7: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
8. № 8: нет решений. Коэффициенты при x равны, свободные члены различаются.
9. № 9: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
10. № 10: нет решений. Коэффициенты при x равны, свободные члены различаются.
11. № 11: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
12. № 12: бесконечно много решений (тождество). Обе части после упрощения совпадают.
13. № 13: одно решение: x = 4. Подстановка корня даёт равные значения.
14. № 14: одно решение: x = 3. Подстановка корня даёт равные значения.
15. № 15: одно решение: x = 1. Подстановка корня даёт равные значения.
16. № 16: нет решений. Коэффициенты при x равны, свободные члены различаются.

17. c = 12. Раскрываем скобки: 4x + 12 = 4x + c; равенство верно для всех x только при c = 12.
18. a = 6. Левая часть 6x − 10, поэтому справа должен стоять такой же коэффициент 6.
19. q = −14. Справа 7x − 14. Чтобы обе части совпали при любом x, q должно быть равно −14.
20. Ошибка: слева 5x − 5, справа 5x − 6, откуда после сокращения получаем −5 = −6 — ложь. Надо заменить −6 на −5.

Как доказать, что решений бесконечно много

Недостаточно показать, что равенство выполняется для x = 1 и x = 2. Нужно равносильными преобразованиями получить выражения, совпадающие при любом x, например 6x − 3 = 6x − 3. Напротив, при равенстве 6x − 3 = 6x − 2 никакое значение x не исправит различие между −3 и −2.

Проверка типичной ошибки

Рассмотрим № 4: 7x + 12 = 7(x + 2). После раскрытия справа 7x + 14. Сокращение 7x даёт 12 = 14, то есть нет решений. Это не бесконечное множество: неизвестное сократилось, но осталась ложная числовая запись. Для № 13, напротив, 6x + 1 = 5x + 5 даёт x = 4 — единственное решение.

Оценивание и повторение

За 1–16 начислите по одному баллу за правильный тип ответа и ещё по одному за объяснение; за 17–20 — по два балла за число и обоснование. Максимум — 40 баллов. Если ученик верно определяет корень, но путает «нет решений» и «любое x», предложите сравнить № 3 и № 4: в первом случае обе части тождественно равны, а во втором — отличаются на постоянное число. Эти задания можно распечатать как самостоятельный лист, а ключ оставить учителю.

Может ли у линейного уравнения быть ровно два корня?

Уравнение вида ax + b = 0 над рациональными числами после переноса приводится к одному из двух случаев. Если a не равно нулю, можно разделить на a и получить единственный корень. Если a равно нулю, остаётся числовое равенство b = 0: оно либо верно при любом x, либо неверно при любом x. Поэтому у такого линейного уравнения не бывает ровно двух различных корней.

Предложите ученику обосновать этот вывод своими словами, а затем придумать два выражения, которые выглядят по-разному, но после раскрытия скобок превращаются в одинаковую формулу. Это проверяет понимание тождества гораздо лучше, чем простая подстановка нескольких чисел.