Числовые закономерности в последовательностях натуральных чисел — упражнения для печати, 5 класс

Числовые последовательности удобно изучать не по одному правилу, а по нескольким типам изменений. Здесь каждое продолжение можно обосновать простым действием над натуральными числами. Рабочий лист состоит из четырёх блоков по шесть заданий, поэтому его можно разделить на две самостоятельные работы.

Содержание статьи9 разделов

Как увидеть правило на частном примере

Рассмотрим ряд 14, 19, 24, 29, …. Разности соседних чисел равны 5. Значит, в простейшем предполагаемом правиле каждый раз прибавляют 5: следующие члены — 34 и 39. Сравните с рядом 3, 6, 12, 24, …: разности здесь растут, зато каждое число получается умножением предыдущего на 2.

Карточка A — постоянный шаг

Для каждого ряда запишите два следующих числа и величину изменения.

  1. 1. 5, 13, 21, 29, … ________, ________. Правило: ____________________
  2. 2. 17, 27, 37, 47, … ________, ________. Правило: ____________________
  3. 3. 91, 84, 77, 70, … ________, ________. Правило: ____________________
  4. 4. 204, 216, 228, 240, … ________, ________. Правило: ____________________
  5. 5. 1 020, 1 040, 1 060, 1 080, … ________, ________. Правило: ____________________
  6. 6. 78, 74, 70, 66, … ________, ________. Правило: ____________________

Карточка B — умножение и деление

Проверьте, выполняется ли одно действие над каждым членом.

  1. 7. 2, 4, 8, 16, … ________, ________. Правило: ____________________
  2. 8. 3, 9, 27, 81, … ________, ________. Правило: ____________________
  3. 9. 6 400, 3 200, 1 600, 800, … ________, ________. Правило: ____________________
  4. 10. 7, 14, 28, 56, … ________, ________. Правило: ____________________
  5. 11. 1, 4, 16, 64, … ________, ________. Правило: ____________________
  6. 12. 4 096, 1 024, 256, 64, … ________, ________. Правило: ____________________

Карточка C — меняющийся шаг

Ищите чередование двух операций или последовательное изменение разности.

  1. 13. 3, 5, 10, 12, 24, 26, … ________, ________. Правило: ____________________
  2. 14. 10, 13, 19, 22, 28, 31, … ________, ________. Правило: ____________________
  3. 15. 1, 2, 4, 7, 11, 16, … ________, ________. Правило: ____________________
  4. 16. 2, 5, 10, 17, 26, … ________, ________. Правило: ____________________
  5. 17. 30, 32, 36, 42, 50, … ________, ________. Правило: ____________________
  6. 18. 90, 89, 87, 84, 80, … ________, ________. Правило: ____________________

Карточка D — составные правила

Установите правило для всего ряда и кратко сформулируйте его словами.

  1. 19. 1, 4, 9, 16, 25, … ________, ________. Правило: ____________________
  2. 20. 2, 6, 12, 20, 30, … ________, ________. Правило: ____________________
  3. 21. 100, 101, 103, 106, 110, … ________, ________. Правило: ____________________
  4. 22. 1, 3, 6, 10, 15, … ________, ________. Правило: ____________________
  5. 23. 5, 10, 20, 40, 80, … ________, ________. Правило: ____________________
  6. 24. 8, 16, 15, 30, 29, 58, … ________, ________. Правило: ____________________

Самопроверка без ключа

Продлите найденный ряд сначала на одно число, а затем ещё на одно. Подставьте их обратно в своё правило. Если ряд построен прибавлением, обратная проверка — вычитание; если умножением, используйте деление. В рядах с чередованием подпишите операции над стрелками: например, «+3; ×2; +3; ×2».

Ответы и проверка — для учителя и родителя

В таблице приведено продолжение для самого простого предполагаемого правила в рамках школьной задачи. Если ученик нашёл другое корректное правило, его нужно оценить отдельно: конечный набор членов сам по себе не определяет единственную бесконечную последовательность.

№ Продолжение Обоснование
1 37, 45 Прибавляем 8.
2 57, 67 Прибавляем 10.
3 63, 56 Вычитаем 7.
4 252, 264 Прибавляем 12.
5 1 100, 1 120 Прибавляем 20.
6 62, 58 Вычитаем 4.
7 32, 64 Удваиваем каждый предыдущий член.
8 243, 729 Умножаем на 3.
9 400, 200 Делим на 2: все члены натуральные.
10 112, 224 Удваиваем.
11 256, 1 024 Умножаем на 4.
12 16, 4 Делим на 4.
13 52, 54 Чередуем +2 и ×2.
14 37, 40 Чередуем +3 и +6.
15 22, 29 Разности увеличиваются на единицу: +1, +2, +3…
16 37, 50 Разности: 3, 5, 7, 9, дальше 11, 13.
17 60, 72 Разности: +2, +4, +6, +8, затем +10 и +12.
18 75, 69 Вычитаем 1, 2, 3, 4, затем 5 и 6.
19 36, 49 Квадраты последовательных натуральных чисел: 6² и 7².
20 42, 56 Произведения соседних натуральных чисел: 6 × 7 и 7 × 8.
21 115, 121 Прибавляем 1, 2, 3, 4, 5, 6.
22 21, 28 Прибавляем 2, 3, 4, 5, далее 6 и 7.
23 160, 320 Каждый член вдвое больше предыдущего.
24 57, 114 Чередуем умножение на 2 и вычитание 1.

Разбор распространённых затруднений

  • Одного действия недостаточно. В последовательности 3, 5, 10, 12, 24, 26 операция меняется по очереди; прибавление 2 лишь к первым двум числам не продолжит весь ряд.
  • Разности могут изменяться. Для 2, 5, 10, 17, 26 выпишите отдельно 3, 5, 7, 9. После этого найдите +11 и +13.
  • Сами числа не обязаны быть близкими. При умножении на 4 члены быстро растут: 1, 4, 16, 64, 256.
  • Ответ без правила — неполный. Ученику важно доказать, что выбранное действие подходит ко всем показанным переходам.

Проверка учителю: можно оценивать по два балла за ряд — один за два продолжения и один за объяснение закономерности. Всего 48 баллов. Допустимые альтернативные правила отмечайте как математически обоснованные, если они действительно работают для всех данных членов.

Дифференцированная проверка: три коротких разбора

Для ученика, которому трудно найти правило в карточке C, полезно отдельно выписать расстояния между соседними членами. Для ряда 1, 2, 4, 7, 11, 16 разности составляют 1, 2, 3, 4, 5. Следующие расстояния — 6 и 7, поэтому продолжение 22, 29. Не путайте это с правилом «каждый раз умножить на 2»: на третьем шаге оно уже не работает.

Для ряда 8, 16, 15, 30, 29, 58 действия удобно подписывать над промежутками. Получается чередование «×2, −1, ×2, −1, ×2». Чтобы сохранить ритм, после 58 нужно вычесть 1, получить 57, и только потом умножить на 2, получить 114. Ученики часто замечают лишь крупные скачки и пропускают маленькое вычитание.

Если ребёнок предлагает, например, для ряда 1, 4, 9, 16, 25 не квадраты, а только разности 3, 5, 7, 9, это тоже корректное объяснение: очередные разности 11 и 13 дают те же числа 36 и 49. Полезно показать, что одну закономерность иногда удаётся описать двумя равносильными способами — через формулу члена и через шаг между членами.

Учителю удобно выдать A и B как самостоятельную работу на 10–12 минут, а C и D оставить на вторую часть занятия. В качестве более строгого задания попросите подчеркнуть первый переход, который не объясняется предложенным правилом: проверка контрпримером формирует привычку обосновывать свои выводы. Для сильных учеников дополнительный вопрос звучит так: «Можно ли придумать иное правило, которое совпадает с первыми пятью членами?» Ответ — да, поэтому школьное условие предполагает поиск простого ожидаемого правила, а не математически единственного продолжения.

Как печатать: сначала распечатайте задания, затем при необходимости — отдельный блок с ответами. При печати из браузера проверьте предварительный просмотр: ключ начинается с новой страницы. Никаких скриптов или подключаемых материалов не требуется.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым