Определение длины горизонтального отрезка по координатам — практикум с ответами для 6 класса

Эта исследовательская карточка посвящена только горизонтальным отрезкам: двум точкам с одинаковой координатой y. Главная идея — длина показывает число единичных промежутков по оси x, а не направление движения. Для отрезков в координатных единицах не требуется измерять изображение линейкой.

Наблюдение → гипотеза

Сначала сформулируйте гипотезу: y у концов одинаковый, значит перемещение идёт вдоль горизонтали, а длина равна модулю разности абсцисс. Порядок точек не важен: |x₂−x₁|=|x₁−x₂|. Если y различаются, отрезок не горизонтальный и данное правило к нему применять нельзя.

Почему модуль необходим даже на отрицательной полуоси

Представьте прозрачную линейку, которую приложили к горизонтальной оси с отметками от −8 до −1. Мы не складываем значения на концах: между ними ровно семь промежутков. Арифметическая запись −1−(−8)=7. Если назвать точки в обратном порядке, получим −8−(−1)=−7, но физическая длина осталась семью промежутками. Поэтому в формуле берётся модуль. Это не дополнительное действие после измерения, а способ отбросить направление и оставить расстояние.

Чтобы самостоятельно проверить ответ, отметьте меньшую и большую абсциссы. Посчитайте, сколько целых промежутков отделяет точки, если координаты целые. Например, от −2 до 3 идут две единицы до нуля и три после него, всего пять. Для дробных значений мысленно делите каждый единичный промежуток на десятые или сотые. Тогда для −1,5 и 4,5 получаем полтора промежутка до нуля и четыре с половиной после него — шесть.

Как проверить применение формулы

Прежде чем вычислять, ответьте на три вопроса: одинаковы ли координаты y у двух концов; в каких единицах измеряется одна клетка; ищется расстояние по горизонтали или путь с промежуточными поворотами? Если y разный, задан наклонный отрезок и применять правило для горизонтали нельзя. Если масштаб 1 единица = 250 м, ответ 8 координатных единиц означает 2000 м, то есть 2 км, а не 8 м.

Когда требуется восстановить неизвестный конец, направление не задано автоматически. Например, горизонтальный отрезок длиной пять единиц из точки с абсциссой 2 может заканчиваться как на x=7, так и на x=−3. Оба значения одинаково удалены от 2. Только слова «правее» или «левее» оставляют одно из двух решений. Такое объяснение обязательно, когда условие не уточняет направление.

Опыты и самостоятельные вопросы

1. При y=−4 концы имеют x=−9 и x=−2. Найдите длину.
2. На прямой y=3 найдите длину от x=−5 до x=8.
3. От x=12 до x=−1 на горизонтали y=6. Поменяйте порядок концов и сравните ответы.
4. Точки A(−1,5; 2) и B(4,5; 2). Вычислите длину.
5. У концов x=−3,2 и x=−7,7, общий y=0. Найдите расстояние.
6. Найдите расстояние между (8; −6) и (8; −6). Назовите особенность.
7. Точки (−2; 3) и (5; 4). Можно ли назвать отрезок горизонтальным?
8. Измерительная шкала: 1 координатная единица соответствует 25 м. A(−4; 2), B(7; 2). Найдите реальную длину.
9. При масштабе 1 ед. = 2 см найдите длину от (9; 1) до (−6; 1).
10. B(5; 7), A(t; 7), AB=9 ед. Запишите все значения t.
11. A(−7; −2), B(k; −2), длина 4. Сколько решений и каковы они?
12. A(−9; 0), B(2; 0), C(6; 0). Найдите AB, BC, AC и сравните.
13. На прямой y=−1 точки P(3; −1), Q(−5; −1), R(0; −1). Найдите PQ+QR и PR.
14. При масштабе 1 ед. = 500 м найдите длину (−3; 5) — (1; 5) в километрах.
15. У точки A(−2; 8) подберите B справа на 6 ед. и C слева на 6 ед.

Проверка гипотезы на крайних случаях

Отрицательные числа не делают длину отрицательной. Наоборот, от −9 до −2 расположено семь единичных шагов. Если обе точки совпадают, длина равна нулю. Если координаты даны в миллиметрах или в другом масштабе, после вычисления координатных единиц их обязательно переводят в реальные единицы.

Ответы с промежуточными действиями

• 1. |−2−(−9)|=7 координатных единиц.
• 2. |8−(−5)|=13 ед.; отрезок пересекает ось y.
• 3. |−1−12|=13 и |12−(−1)|=13 ед.; ответ одинаков.
• 4. |4,5−(−1,5)|=6 ед. Десятичные координаты допустимы.
• 5. |−7,7−(−3,2)|=4,5 ед.
• 6. 0 ед.: точки совпадают, отрезок нулевой длины.
• 7. Нет: 3≠4, поэтому формула горизонтальной длины здесь неприменима.
• 8. 11·25=275 м, потому что |7−(−4)|=11 ед.
• 9. |9−(−6)|=15 ед., 15·2=30 см.
• 10. |t−5|=9, поэтому t=−4 или t=14; обе точки допустимы.
• 11. |k+7|=4: k=−3 или k=−11; решений два.
• 12. AB=11, BC=4, AC=15; AB+BC=AC, так как B лежит между A и C.
• 13. PQ=8, QR=5, сумма 13; PR=3. Путь через Q длиннее прямого от P до R.
• 14. 4 ед. ·500 м =2000 м =2 км.
• 15. B(4; 8), C(−8; 8). Проверка: |4−(−2)|=|−8−(−2)|=6.

Итог исследования: для двух точек с общей ординатой y справедлива формула AB=|x₂−x₁|. Она работает с целыми, отрицательными, дробными и совпадающими абсциссами. Полученный модуль всегда неотрицателен. Не путайте длину отрезка со знаком изменения координаты по направлению движения.