Чтение маршрута по координатной сетке с препятствиями — задания на закрепление, 6 класс

Координатная карта с препятствиями, 6 класс. Здесь маршрут строится по узлам прямоугольной сетки, а не по диагоналям. Допустимые ходы: В — вправо (x увеличивается на 1), З — влево, С — вверх, Ю — вниз. Один ход переносит на один узел; через запрещённую точку проходить нельзя, даже если старт и конец свободны.

Карта и правила

Легенда: S=(0; 0) — начало, T=(6; 4) — цель; × — запрещённый узел. Точки (2; 2), (3; 2), (4; 2), (4; 3), (1; 4) недоступны. Поле ограничено x от 0 до 6 и y от 0 до 5 включительно. Каждая горизонтальная или вертикальная сторона клетки считается одним шагом.

Вступительная задача и два метода

Как пройти из (0; 2) в (6; 2), если середину строки y=2 перекрывают препятствия? Метод 1 — проверить путь по клеткам: вниз до y=1, затем вправо до x=6 и вверх. Метод 2 — оценить кратчайшую длину: по горизонтали требуется шесть шагов, но обход добавляет два вертикальных. Значит нужно не менее восьми шагов, и найденный путь из восьми шагов кратчайший.

Запись решения без рисунка

Если нет возможности распечатать сетку, нарисуйте таблицу из семи столбцов и шести строк или ведите маршрут с помощью пар чисел. Например, после шага В 1 из (0;2) мы в (1;2), после Ю 1 — в (1;1). Даже если маршрут состоит всего из двух команд, нельзя переходить на нужную конечную точку по диагонали и считать это одним шагом: такого правила на карте нет.

При поиске кратчайшего обхода начинайте с оценки, которую давал бы путь без препятствий. Между (3;3) и (5;3) горизонтальное расстояние составляет два шага. Однако узел (4;3) закрыт. Одним дополнительным шагом обойти его невозможно: нужно подняться или спуститься на соседнюю строку, пройти два шага вдоль неё и вернуться на исходную высоту. Значит оптимальный обход имеет длину четыре. Такой способ объяснения показывает не только найденный путь, но и почему нельзя короче.

Маршруты: проследите и проверьте

1. Старт (0; 0), шаги «В 2, С 1». Найдите конечную точку и число шагов.
2. Старт (0; 0), шаги «С 2, В 2». Разрешён ли весь маршрут? Укажите первый запрещённый узел.
3. Старт (0; 2), шаги «Ю 1, В 6, С 1». Найдите конец и общее число ходов.
4. Старт (3; 1), шаги «В 2, С 3». Проследите маршрут. Достигнута ли (5; 4)?
5. Старт (1; 3), шаги «С 1». Почему попытка неудачна?
6. Старт (6; 4), шаги «З 3, Ю 1». Найдите конец; все ли узлы свободны?
7. Старт (0; 5), шаги «В 1, Ю 1». Найдите первый запрещённый узел.
8. Старт (5; 1), шаги «З 1, С 1». Разрешён ли маршрут?

Сравните маршруты и найдите ловушки

9. Найдите минимальное число шагов из (0; 2) в (6; 2) и предложите разрешённый путь.
10. Найдите кратчайший путь S→T, укажите длину и почему путь короче невозможен.
11. Из (2; 1) необходимо попасть в (2; 3). Почему С 2 нельзя? Предложите кратчайший обход.
12. Из (3; 3) попасть в (5; 3). Найдите обход с наименьшим количеством ходов.
13. От (6; 0) до (0; 5): можно ли пройти за 11 шагов?
14. От (1; 1) до (5; 3): укажите короткий маршрут и проверьте, что он избегает ×.
15. У пути из (0; 2) в (6; 2) из задания 9 один шаг равен 20 м. Вычислите длину пути в метрах.
16. Маршрут S→(0; 5)→(6; 5)→T. Вычислите длину и сравните с кратчайшей.
17. Найдите ошибку в маршруте S→T: «С 4, В 6». Почему перестановка команд здесь важна?
18. Какова кратчайшая длина от (0;5) до (6;5)? Есть ли препятствие на этом пути?

Ключ с пошаговой проверкой

• 1. Конец (2; 1); 3 ходов, все узлы свободны. Последовательность проверенных узлов: (0; 0) → (1; 0) → (2; 0) → (2; 1).
• 2. Не подходит: запретная точка (2; 2). До нарушения пройдено 4 ходов; последняя точка не разрешена.
• 3. Конец (6; 2); 8 ходов, все узлы свободны. Последовательность проверенных узлов: (0; 2) → (0; 1) → (1; 1) → (2; 1) → (3; 1) → (4; 1) → (5; 1) → (6; 1) → (6; 2).
• 4. Конец (5; 4); 5 ходов, все узлы свободны. Последовательность проверенных узлов: (3; 1) → (4; 1) → (5; 1) → (5; 2) → (5; 3) → (5; 4).
• 5. Не подходит: запретная точка (1; 4). До нарушения пройдено 1 ходов; последняя точка не разрешена.
• 6. Конец (3; 3); 4 ходов, все узлы свободны. Последовательность проверенных узлов: (6; 4) → (5; 4) → (4; 4) → (3; 4) → (3; 3).
• 7. Не подходит: запретная точка (1; 4). До нарушения пройдено 2 ходов; последняя точка не разрешена.
• 8. Не подходит: запретная точка (4; 2). До нарушения пройдено 2 ходов; последняя точка не разрешена.

Объяснения заданий 9–18

• 9. 8 шагов: Ю 1, В 6, С 1. Нижняя оценка 6, но блокировка (2;2)–(4;2) требует уйти с y=2 и вернуться: добавляются минимум 2 шага.
• 10. В 6, С 4: 10 шагов. Оценка |6−0|+|4−0|=10 уже достигнута, все промежуточные узлы свободны.
• 11. (2;2) закрыта. З 1, С 2, В 1 — 4 шага; вместо двух прямых приходится сделать два боковых.
• 12. С 1, В 2, Ю 1: четыре шага; прямой путь В 2 пересекает (4;3).
• 13. Да: С 5, З 6. Нижняя оценка 6+5=11, выбранная верхняя строка без препятствий.
• 14. В 4, С 2: 6 шагов. Сначала идём по y=1, потом по x=5; все узлы свободны. 4+2=6 — нижняя оценка.
• 15. 8·20=160 м. Число шагов безразмерное; после умножения на 20 м/шаг единица — метры.
• 16. 5+6+1=12 шагов; это на 2 шага больше минимума 10. Все точки на этих отрезках доступны.
• 17. После «С 4» из (0;0) получаем (0;4); первый ход В ведёт в (1;4), а она запрещена. В 6, С 4 допустим; порядок имеет значение.
• 18. 6 шагов В 6 по верхней строке y=5; запрещённых точек нет, нижняя оценка равна 6.

Проверка результата: не спутайте (x; y) с (y; x), отмечайте каждый промежуточный узел, а не только конец. Формула |Δx|+|Δy| даёт нижнюю границу пути, но при препятствиях достижимый кратчайший путь иногда длиннее. У диагонального движения были бы другие правила — здесь оно запрещено.