Поиск недостающего одночлена в верном тождестве: самостоятельная работа по математике, 7 класс
Поиск пропущенного одночлена — обратная задача к приведению подобных членов. В пустой клетке должен стоять ровно один одночлен: коэффициент, умноженный на заданную буквенную часть. Нельзя подставить сумму двух разных одночленов. Если известны A+□=B, то □=B−A; если A−□=B, то □=A−B. Это тождества, поэтому найденный одночлен должен работать при любых значениях переменных.
Содержание статьи5 разделов
Шесть неверных решений: найдите ошибку ученика
- 2x+□=9x. Ученик написал □=11x. Найдите неверный знак или действие и исправьте решение.
- 5a²−□=2a². Ученик написал □=−3a². Найдите неверный знак или действие и исправьте решение.
- −4b+□=−b. Ученик написал □=−5b. Найдите неверный знак или действие и исправьте решение.
- 3xy+□=−xy. Ученик написал □=4xy. Найдите неверный знак или действие и исправьте решение.
- 7p³−□=−p³. Ученик написал □=−8p³. Найдите неверный знак или действие и исправьте решение.
- −6m²+□=−10m². Ученик написал □=4m². Найдите неверный знак или действие и исправьте решение.
Во всех шести ошибочных работах буквы и показатели степени выбраны правильно: проблема только в операции с коэффициентами и знаками. Если две записи дают одинаковое буквенное выражение, сравнивайте коэффициенты подобных одночленов, а не отдельные цифры в коэффициенте.
Самостоятельная часть: 12 ячеек
- 4u+□=13u. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- □−2t²=5t². Найдите □ и запишите обратную проверку.
- −3ab+□=8ab. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- 11n³−□=6n³. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- □+9c=−2c. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- 7x²y+□=−x²y. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- 2v⁴−□=−3v⁴. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- □−8rs=−14rs. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- −5k²+□=5k². Найдите □ и запишите обратную проверку.
- 3xy²−□=−9xy². Найдите □ и запишите обратную проверку.
- □+4a³b=−a³b. Найдите □ и запишите обратную проверку.
- −12p²q−□=−7p²q. Найдите □ и запишите обратную проверку.
Исправленные ответы и объяснения
| № | Верный пропущенный одночлен | Почему это правильный ответ |
|---|---|---|
| 1 | □=7x | □=7x, так как 9x−2x=7x; 2x+7x=9x. |
| 2 | □=3a² | □=3a², так как 5a²−2a²=3a²; 5a²−3a²=2a². |
| 3 | □=3b | □=3b, потому что −b−(−4b)=3b; −4b+3b=−b. |
| 4 | □=−4xy: −xy−3xy=−4xy; 3xy−4xy=−xy. | □=−4xy: −xy−3xy=−4xy; 3xy−4xy=−xy. |
| 5 | □=8p³: 7p³−(−p³)=8p³; 7p³−8p³=−p³. | □=8p³: 7p³−(−p³)=8p³; 7p³−8p³=−p³. |
| 6 | □=−4m²: −10m²−(−6m²)=−4m²; −6m²−4m²=−10m². | □=−4m²: −10m²−(−6m²)=−4m²; −6m²−4m²=−10m². |
| 7 | 9u | 13u−4u=9u. |
| 8 | 7t² | 5t²+2t²=7t². |
| 9 | 11ab | 8ab+3ab=11ab. |
| 10 | 5n³ | 11n³−6n³=5n³. |
| 11 | −11c | −2c−9c=−11c. |
| 12 | −8x²y | −x²y−7x²y=−8x²y. |
| 13 | 5v⁴ | 2v⁴−(−3v⁴)=5v⁴. |
| 14 | −6rs | −14rs+8rs=−6rs. |
| 15 | 10k² | 5k²−(−5k²)=10k². |
| 16 | 12xy² | 3xy²−(−9xy²)=12xy². |
| 17 | −5a³b | −a³b−4a³b=−5a³b. |
| 18 | −5p²q | −12p²q−(−7p²q)=−5p²q; вычитаем отрицательный одночлен. |
Смысл знака − перед клеткой. В равенстве 11n³−□=6n³ ищут то, что нужно вычесть из 11n³. Но в последнем задании правильный одночлен отрицательный: вычитание −5p²q увеличивает −12p²q до −7p²q. Запрет на отрицательные коэффициенты в условии не дан, поэтому нельзя заменять ответ положительным ради привычного вида.
Критерии проверки. За каждое из шести исправлений — 1 балл за корректный одночлен и 1 за обнаруженную ошибку; за каждую из следующих двенадцати ячеек — 1 балл за ответ и 1 за подстановку найденного одночлена. Максимум 36 баллов. Проверять можно устно: подставьте ответ на место □, приведите подобные члены и убедитесь, что левая и правая части совпадают как многочлены.
Различайте знак перед пустой клеткой и знак внутри одночлена
Для суммы A+□=B ответ находят вычитанием: □=B−A. Для разности A−□=B неизвестный член тоже ищется из перестановки: □=A−B. Эти правила на первый взгляд похожи, но результат с отрицательным коэффициентом может вести себя непривычно. Например, из −12p²q−□=−7p²q выходит □=−5p²q. Тогда −□=+5p²q и равенство становится верным. Нельзя менять этот коэффициент на положительный просто потому, что перед окошком уже стоит знак минус.
Работайте сначала с коэффициентами: во всех заданиях буквы в слагаемых одинаковы. Для 7x²y+□=−x²y можно временно обозначить x²y буквой T. Получится 7T+□=−T и □=−8T. Возвращая исходную буквенную часть, получаем −8x²y. Такой приём особенно удобен, когда одночлен содержит две переменные или четвёртую степень. Нельзя менять x²y на xy²: это другой одночлен, и тождество потеряется.
Проверка однозначности найденного одночлена
Пусть неизвестный одночлен равен c·a³b, где c — неизвестный коэффициент. В примере □+4a³b=−a³b после объединения коэффициентов выходит c+4=−1, значит c=−5. Такой коэффициент единственен. Наоборот, одно числовое испытание не всегда доказывает нужный результат: при a=0 любые значения c дадут 0=0. Следовательно, проверять надо тождество по коэффициентам, а не только подстановку нуля.
Для учителя удобно разделить оценку на два вида ошибок: арифметическая (неверно вычислена разность коэффициентов) и алгебраическая (смешаны непохожие буквенные части). В этом листе второй вид специально исключён формулировкой, чтобы ученик сначала освоил обратное нахождение одного одночлена. После решения полезно дать устную проверку: «почему именно такой знак и почему такая степень?» — ответ должен ссылаться на равенство коэффициентов подобных членов.
Если на месте клетки требуется 0, это допустимый нулевой одночлен, но в предложенных 18 примерах все ответы ненулевые. ОДЗ у всех равенств — любые значения действительных переменных: в них нет деления или корней. Таким образом, найденный коэффициент должен обеспечивать равенство многочленов при всех подстановках, а не в отдельной выбранной точке.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.