Деление многочлена на одночлен по членам: задания от простого к сложному, 7 класс

Практикум посвящён делению многочлена на одночлен по членам. Если каждый член числителя делится на общий одночлен, распределите деление: (A+B−C):D=A:D+B:D−C:D. Важно не сокращать только первый член и не забывать ограничения из знаменателя. Дробь со знаменателем 3x имеет смысл только при x≠0, даже если после сокращения x больше не виден.

Прикладной кейс: площадь прямоугольной панели

Мастерская выпускает прямоугольные декоративные панели. При положительном безразмерном параметре t ширина панели равна 3t дм, а площадь по чертежу — (6t³+9t²) дм². Нужно найти длину панели, деля площадь на ширину. Из-за геометрического смысла t>0; алгебраическое деление само по себе разрешает любое t≠0.

Математическая модель и сверка размеров

L(t)=S(t):W(t)=(6t³+9t²):(3t)=(6t³):(3t)+(9t²):(3t)=2t²+3t дм. При t=2 получаем 2×4+3×2=14 дм; произведение длины на ширину 14 дм×6 дм=84 дм², то есть исходная площадь восстановилась. При t=3 получаем 27 дм, проверка 27×9=243 дм². Нельзя сокращать t при t=0: ширина обращается в ноль, деление не определено.

Связанные задачи по чертежу панели

1. Найдите длину панели в буквенном виде, если t>0.
2. Рассчитайте ширину, площадь и длину при t=4.
3. При каком положительном целом t из {1,2,3,4} длина впервые больше 20 дм?
4. При t=2 проверьте площадь обратным умножением длины на ширину.
5. Можно ли использовать t=0 в модели? Объясните через делитель.

Алгебраический тренажёр: делите каждый член отдельно

6. Разделите (10x²+15x) на 5x. Укажите все запрещённые значения переменных.
7. Разделите (8a³−12a²) на 4a². Укажите все запрещённые значения переменных.
8. Вычислите (18m²n+6mn²):(6mn). Укажите все запрещённые значения переменных.
9. Вычислите (9p⁴+6p³−3p²):(3p²). Укажите все запрещённые значения переменных.
10. Упростите (14z³−7z²):(7z). Укажите все запрещённые значения переменных.
11. Упростите (12u²v−18uv²):(6uv). Укажите все запрещённые значения переменных.
12. Разделите (25k³+10k²) на 5k². Укажите все запрещённые значения переменных.
13. Вычислите (6x²−9x+12x³):(3x). Укажите все запрещённые значения переменных.
14. Упростите (16r⁵−8r³):(4r³). Укажите все запрещённые значения переменных.
15. Вычислите (21a²b+14ab²−7ab):(7ab). Укажите все запрещённые значения переменных.

Полный ключ и восстановление исходной площади

Проверять результат лучше обратным умножением: полученное частное умножьте на исходный одночлен. В задании 9, например, (3p²+2p−1)×3p²=9p⁴+6p³−3p². В задании 13 выражение (2x−3+4x²)×3x=6x²−9x+12x³. Так легко выявить потерю члена и ошибку показателя степени.

ОДЗ и единицы. Делитель 6mn запрещает m=0 и n=0; делитель 7ab запрещает a=0 и b=0. Эти исключения не исчезают после сокращения. Буквы в отвлечённых примерах обозначают числа без единиц измерения, а в задаче с панелью площадь задана в дм², ширина в дм и частное обязательно имеет единицу дм. Если вместо дм получается дм², размерность решения не проверена.

Критерий: задания 1–5 — по 2 балла (расчёт и объяснение), 6–15 — по 2 балла (частное и корректное ограничение на делитель). Всего 30 баллов. Для повторения выделите задания, где потерян минус или одночлен, и всегда возвращайтесь к равенству «частное × делитель = исходный многочлен» при допустимых значениях переменных.

Разбор потенциальных ошибок с показателями степени

При делении одинаковых оснований показатели степеней вычитают: x⁵:x²=x³ при x≠0. В упражнении 7 это означает, что a³:a²=a, а a²:a²=1. Частая ошибка — сохранить третью степень после деления: (8a³−12a²):(4a²) не равно 2a³−3a². Верная запись 2a−3 получается от деления каждого слагаемого и верно восстанавливает числитель после умножения на 4a².

В примере с двумя буквами наглядно виден порядок сокращения: 18m²n:(6mn)=3m, поскольку 18:6=3, m²:m=m и n:n=1. А 6mn²:(6mn)=n. Следовательно, частное 3m+n; нельзя сократить только числовые коэффициенты и оставить m²n. При этом если m=0 или n=0, исходный знаменатель равен нулю и операция не разрешена. ОДЗ записывается по исходному делителю до сокращения.

Независимая проверка прикладной модели

Панель при t=1 имеет площадь 15 дм² и ширину 3 дм, значит длина 5 дм; при t=3 площадь 243 дм² и ширина 9 дм, длина 27 дм. Это проверяет не только алгебру, но и смысл результата: длина положительна, при увеличении параметра размеры и площадь растут. При t=4 полученная длина 44 дм и ширина 12 дм снова восстанавливают площадь 528 дм². Поскольку t безразмерен, коэффициенты в формуле длины имеют смысл измерения в дм; не следует складывать физические величины разных размерностей.

Запишите у каждого ответа две строки: «частное» и «область допустимых значений». В заданиях 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14 делитель содержит одну переменную; в заданиях 8, 11 и 15 — две переменные, поэтому проверьте не порядковый номер, а сам делитель. Для делителя 3p² действует p≠0, для делителя 7ab — a≠0, b≠0. Достаточно, чтобы хотя бы один множитель делителя обратился в ноль, и исходная дробь перестанет иметь смысл.

Обратное умножение служит универсальным контролем: частное умножаем на исходный делитель, затем раскрываем скобки. Если восстановились все слагаемые числителя с исходными степенями и знаками, преобразование правильно при выполненной ОДЗ. Особенно полезно проводить этот контроль в выражениях с тремя слагаемыми, где легко пропустить постоянный член или неправильно прочесть минус перед последним одночленом.