Систематический перебор исходов при двух бросках кубика — проверочная работа, 7 класс

Цель: научиться перечислять результаты двух последовательных бросков одного обычного шестигранного кубика так, чтобы ничего не забыть и не посчитать дважды. Работа рассчитана на 15–20 минут.

Быстрая диагностика

Отметьте мысленно правильный ответ: при первом броске выпало 2, при втором — 5. Отличается ли это от результата (5; 2)? Да: порядок бросков важен. А пара (4; 4) — один исход, а не два. Если эти утверждения понятны, переходите к заданиям.

Способ перебора: шесть строк по шесть исходов

Записывайте исход как (первый; второй). Для каждого первого значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 по очереди выпишите все шесть значений второго броска. Например, строка для первого значения 2: (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6). Всего 6 × 6 = 36 равновозможных упорядоченных исходов.

В проверочной работе для каждого условия перечислите подходящие пары или опишите полный систематический способ отбора, а затем подсчитайте их количество. В задачах с количеством шесть и меньше обязательно перечислите пары.

Проверочная работа: 12 вопросов

1. Первый бросок равен 2. Сколько исходов существует? Перечислите их.
2. Первый бросок равен 4, второй — чётный. Назовите пары.
3. Сумма очков равна 7. Найдите все исходы.
4. Сумма очков равна 10. Перечислите пары.
5. Произведение очков равно 12. Перечислите пары.
6. В обоих бросках выпало одинаковое число. Сколько пар?
7. Первое число строго больше второго. Сколько исходов?
8. Оба числа чётные. Сколько исходов? Проверьте по строкам таблицы.
9. Ровно в одном броске выпала шестёрка. Сколько упорядоченных исходов?
10. Разность чисел по модулю равна 2. Сколько вариантов?
11. Сумма очков не превышает 4. Перечислите пары.
12. Первое число кратно 3, а сумма двух чисел нечётная. Сколько исходов?

Как оформлять перебор, если ответ больше шести

В № 7 можно разделить исходы на группы по первому броску. Если сначала выпала единица, второе число меньше первого не бывает. Если сначала выпало 2, второе число может быть только 1. Для тройки таких вариантов уже два, а для шестёрки — пять. Так получится сумма 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5, а не случайный список без порядка.

В № 9 удобно отметить сначала все пары с шестёркой в первом броске, затем все пары с шестёркой во втором. Пара (6; 6) относится сразу к обеим группам, но условие говорит ровно в одном броске, поэтому её надо вычеркнуть. Это отличие между словами «хотя бы одна» и «ровно одна» важно не только в этой задаче.

В № 12 проверяйте два условия одновременно. Кратность первому числу трём оставляет только 3 и 6. Чтобы сумма была нечётной, чётность второго числа должна отличаться от чётности первого. Не нужно строить весь квадрат 6 на 6, если можно заранее отсеять неподходящие строки.

Таблица самопроверки

Устный контроль. В полном наборе 36 исходов половина пар имеет первое значение меньше второго или больше второго — по 15 таких пар. Ещё 6 пар имеют равные значения. Сумма 15 + 15 + 6 = 36 помогает обнаружить пропуск. Пары с суммой 7 расположены симметрично: при перестановке чисел сумма не меняется, но исход бросков остаётся отдельным. Верные ответы должны одновременно удовлетворять ограничениям на грани 1…6.

Три типичные ошибки

• Смешивают порядок: (2;5) и (5;2) — разные исходы последовательных бросков. Если вместо этого рассматривать неупорядоченные наборы, ответ изменится.
• Дважды считают повтор: пара (6;6) не подходит к условию «ровно одна шестёрка», а (5;5) записывается только один раз.
• Перебирают хаотично: при сумме 7 удобно зафиксировать первое число 1…6 и однозначно определить второе. Так легче заметить пропуски.

Оценка: 1 балл за правильное количество в каждом пункте и ещё 1 балл за безошибочный перебор в № 2, 3, 4, 5, 11; максимум 17 баллов. Сомнительный ответ проверяйте таблицей 6 × 6, а не интуицией.