Сравнение экспериментальной и теоретической вероятности: примеры и объяснения для 7 класса

Рабочий лист: сравните прогноз по равновозможным исходам с наблюдениями. Теоретическая вероятность P_т — доля благоприятных исходов в математической модели. Экспериментальная частота P_э = число успехов / число испытаний. Они могут отличаться: отдельная серия не обязана дать ровно теоретическую долю.

Во всех заданиях предполагается честная монета, правильный кубик, секторный волчок с равными по площади секторами либо случайное извлечение шара с возвращением и перемешиванием. Без этих предположений теоретическая вероятность могла бы быть иной.

Печатный лист: вариант А

Для каждого случая найдите теоретическую вероятность, экспериментальную частоту и абсолютное расхождение |P_э − P_т|. При необходимости запишите ответ обыкновенной дробью. Поле решения после таблицы оставлено для записи вычислений.

Расчёты варианта А (для печати): ____________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

Печатный лист: вариант Б

Расчёты варианта Б (для печати): ____________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

Пример оформления

При 30 бросках монеты орёл выпал 18 раз: P_т = 1/2, P_э = 18/30 = 3/5. Расхождение |3/5 − 1/2| = 1/10, или 10 процентных пунктов. Это не значит, что монета заведомо нечестная: данных одной короткой серии недостаточно для такого вывода.

Что сравниваем, а чего не сравниваем

При подсчёте разницы между двумя долями необходимо сначала привести их к общей дробной записи. Пример: при 60 испытаниях событие произошло 34 раза. Частота 34/60 = 17/30, а теоретическая вероятность 1/2 = 15/30. Значит, абсолютное расхождение (17−15)/30 = 2/30 = 1/15. Не следует вычитать 34−1/2: в этих числах разные единицы смысла.

При экспериментальной оценке знаменатель — число всех испытаний, включая неудачные. Если было 72 броска кубика, а шестерка выпала девять раз, частота 9/72, а не 9/6. Для теоретической модели того же кубика знаменатель 6 — число его равновозможных граней. Два знаменателя отвечают на два разных вопроса.

Если в мешке несколько цветов, важно заранее определить, какое событие считается успехом. Например, у пяти шаров два красных и три синих: шанс красного при случайном извлечении 2/5. Но если шар не возвращается, вероятности в разных испытаниях могут изменяться. Поэтому в этом листе возвращение и перемешивание указаны как часть условия, а не как необязательная деталь.

Самостоятельная проверка здравого смысла

Все ваши вероятности и частоты должны лежать между 0 и 1 включительно. Абсолютное расхождение не бывает отрицательным. Равенство экспериментального и теоретического значения возможно, но не обязательно. Если наблюдаемая частота меньше теоретической, это не основание записывать минус перед ответом на вопрос об абсолютном расхождении.

Ключ: точные ответы и расчёты

Вариант А

Вариант Б

Когда наблюдения расходятся сильнее

Представьте две независимые серии бросков одной монеты: в первой 10 испытаний и 8 орлов, во второй 100 испытаний и 46 орлов. Теоретическая вероятность одинакова, 1/2, но частоты 8/10 и 46/100 различны. Отклонение первой серии 3/10, второй 1/25. В данном примере длинная серия оказалась ближе к модели, однако это отдельное наблюдение, а не доказательство, что любая более длинная серия обязательно будет ближе.

Обратите внимание на повторяемость в работе: можно перенести одну и ту же теоретическую вероятность, например 1/2, между разными событиями только после проверки их симметрии. Орёл у честной монеты и нечётное число у честного шестигранного кубика имеют одинаковую вероятность по разным причинам: у монеты одна благоприятная сторона из двух, у кубика три благоприятные грани из шести. Совпадение дробей не делает экспериментальные частоты одинаковыми.

Как оценить работу

За каждый из восьми пунктов: 1 балл за корректную теоретическую вероятность, 1 за частоту, 1 за расхождение с модулем; максимум 24 балла за вариант. Для отметки можно использовать ориентиры: 22–24 — отлично, 18–21 — хорошо, 13–17 — требуется повторение, 0–12 — разберите правило.

Важная тонкость: различайте «процент» и «процентный пункт». Если вероятность 1/2 (50%) и наблюдаемая частота 3/5 (60%), расхождение составляет 10 процентных пунктов. Частота может приближаться к теоретической вероятности при росте числа испытаний, но каждое новое испытание не гарантирует уменьшения расхождения.