Системы уравнений для покупки двух видов билетов — рабочий лист для 7 класса

Задачи о билетах удобны для метода двух неизвестных. Пусть x — число билетов первого вида, y — второго. Тогда уравнение x + y = N описывает общее количество, а ax + by = S — выручку, где a и b — цены билетов в тенге. Предполагаются целые неотрицательные x и y; дробное число билетов недопустимо.

Три разобранных примера

Пример 1

Школьный театр: взрослый билет 700 тг, детский 400 тг. Продано 8 билетов на 4100 тг. Обозначим количество билетов x и y: x + y = 8; 700x + 400y = 4100.

Подставляем y = 8 − x. Получаем 700x + 400(8 − x) = 4100, то есть 300x = 900; x = 3, y = 8 − 3 = 5. Проверка: 3 + 5 = 8 билетов, 700 × 3 + 400 × 5 = 4100 тг.

Пример 2

Киносеанс: стандартный билет 900 тг, льготный 600 тг. Продано 11 билетов на 8100 тг. Обозначим количество билетов x и y: x + y = 11; 900x + 600y = 8100.

Подставляем y = 11 − x. Получаем 900x + 600(11 − x) = 8100, то есть 300x = 1500; x = 5, y = 11 − 5 = 6. Проверка: 5 + 6 = 11 билетов, 900 × 5 + 600 × 6 = 8100 тг.

Пример 3

Музей: полный билет 1200 тг, школьный 800 тг. Продано 14 билетов на 13 600 тг. Обозначим количество билетов x и y: x + y = 14; 1200x + 800y = 13600.

Подставляем y = 14 − x. Получаем 1200x + 800(14 − x) = 13600, то есть 400x = 2400; x = 6, y = 14 − 6 = 8. Проверка: 6 + 8 = 14 билетов, 1200 × 6 + 800 × 8 = 13600 тг.

Что делать, если цены значительно отличаются

Иногда проще начать не с подстановки, а с мысленного сравнения с ситуацией, когда все билеты куплены по меньшей цене. Например, 11 билетов только по 350 тг принесли бы 3850 тг. Настоящая выручка выше на величину, создаваемую билетами более дорогого вида. Разность цен одного билета и есть добавка к выручке. Это рассуждение равносильно исключению одной неизвестной из системы.

Оба способа должны давать один и тот же ответ. При проверке не ограничивайтесь суммой билетов: пары x=3, y=8 и x=8, y=3 обе дают 11, но при неравных ценах обычно дают различную выручку. Поэтому обязательно подставьте найденные числа во второе уравнение и подпишите денежную единицу.

Пусть билеты стоят 400 и 700 тг, а всего продано 10 штук. Если выручка указана меньше 4000 тг или больше 7000 тг, решение невозможно при неотрицательных количествах. Если сумма между этими границами, это ещё не гарантирует целочисленную пару: нужно решить систему и убедиться, что обе величины целые. В некоторых задачах арифметически получается дробный x, который нельзя округлять.

Тренировочный лист с частичными подсказками

В каждой задаче найдите x — число билетов первого вида, y — второго, составьте и решите систему. Указанные суммы — выручка, а не прибыль. Если дополнительного условия недостаточно для единственного целочисленного решения, напишите причину.

13. Обе категории билетов стоят 500 тг; продано 9 билетов, выручено 4500 тг. Можно ли однозначно узнать количества каждого вида? Объясните.

14. Первый билет стоит 1000 тг, второй 600 тг. Всего продано 8 билетов на 5900 тг. Возможен ли такой отчёт, если иных платежей не было?

Место для решения: _______________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Проверка перед открытием ключа

Заполните по памяти четыре пункта: (1) какие величины обозначены x и y; (2) чем измеряются коэффициенты второго уравнения; (3) какое уравнение отвечает за число билетов; (4) какие ограничения наложены на x и y. Если хотя бы один пункт не удаётся объяснить словами, вернитесь к разобранным примерам.

В заданиях 1–12 нет дополнительных комиссий, возвратов, бесплатных приглашений или проданных комплектов; каждый билет учитывается один раз. Это важно, иначе простая двухстрочная система может неверно описать кассу. При решении не надо искусственно добавлять скидки или округлять цену, потому что исходные условия уже полностью определены.

Полные ответы и проверки

1. x + y = 11; 650x + 350y = 5050. После подстановки y = 11 − x: 300x = 1200, поэтому x = 4, y = 7. Проверка: 4 + 7 = 11, 650 × 4 + 350 × 7 = 5050 тг.

2. x + y = 15; 450x + 250y = 4950. После подстановки y = 15 − x: 200x = 1200, поэтому x = 6, y = 9. Проверка: 6 + 9 = 15, 450 × 6 + 250 × 9 = 4950 тг.

3. x + y = 11; 1100x + 500y = 7300. После подстановки y = 11 − x: 600x = 1800, поэтому x = 3, y = 8. Проверка: 3 + 8 = 11, 1100 × 3 + 500 × 8 = 7300 тг.

4. x + y = 13; 800x + 300y = 8400. После подстановки y = 13 − x: 500x = 4500, поэтому x = 9, y = 4. Проверка: 9 + 4 = 13, 800 × 9 + 300 × 4 = 8400 тг.

5. x + y = 12; 750x + 450y = 6900. После подстановки y = 12 − x: 300x = 1500, поэтому x = 5, y = 7. Проверка: 5 + 7 = 12, 750 × 5 + 450 × 7 = 6900 тг.

6. x + y = 14; 550x + 200y = 5600. После подстановки y = 14 − x: 350x = 2800, поэтому x = 8, y = 6. Проверка: 8 + 6 = 14, 550 × 8 + 200 × 6 = 5600 тг.

7. x + y = 11; 1300x + 900y = 10700. После подстановки y = 11 − x: 400x = 800, поэтому x = 2, y = 9. Проверка: 2 + 9 = 11, 1300 × 2 + 900 × 9 = 10700 тг.

8. x + y = 12; 360x + 240y = 3720. После подстановки y = 12 − x: 120x = 840, поэтому x = 7, y = 5. Проверка: 7 + 5 = 12, 360 × 7 + 240 × 5 = 3720 тг.

9. x + y = 14; 900x + 350y = 7100. После подстановки y = 14 − x: 550x = 2200, поэтому x = 4, y = 10. Проверка: 4 + 10 = 14, 900 × 4 + 350 × 10 = 7100 тг.

10. x + y = 15; 500x + 350y = 6600. После подстановки y = 15 − x: 150x = 1350, поэтому x = 9, y = 6. Проверка: 9 + 6 = 15, 500 × 9 + 350 × 6 = 6600 тг.

11. x + y = 10; 620x + 420y = 5400. После подстановки y = 10 − x: 200x = 1200, поэтому x = 6, y = 4. Проверка: 6 + 4 = 10, 620 × 6 + 420 × 4 = 5400 тг.

12. x + y = 8; 1500x + 700y = 9600. После подстановки y = 8 − x: 800x = 4000, поэтому x = 5, y = 3. Проверка: 5 + 3 = 8, 1500 × 5 + 700 × 3 = 9600 тг.

13. Неоднозначно. Обе категории имеют одинаковую цену; из x+y=9 следует 500x+500y=4500 при любом целом x от 0 до 9. Получаем десять возможных распределений, а не одно. Нужна дополнительная информация.

14. Нет допустимого решения. Вычтем 600 × 8 = 4800 тг: 400x = 1100, x = 2,75. Количество проданных билетов должно быть целым, поэтому отчёт несовместим с условиями; округлять 2,75 нельзя.

Если задача кажется слишком простой или слишком сложной

Незнакомые суммы в тенге могут отвлекать от главного — структуры системы. Сперва уменьшите все цены и выручку в одинаковое число раз, если это удобно и делится без остатка. Например, систему 800x+300y=8400 можно разделить на 100 и получить 8x+3y=84. Уравнение x+y=13 остаётся прежним. Сокращение коэффициентов облегчает вычисления, но не меняет искомое число билетов.

При одинаковых ценах система теряет способность различать два вида. При несовместимой выручке она может не иметь решения в целых неотрицательных числах, даже если формально найдено действительное решение. Эти случаи не являются «неудачными примерами»: именно они проверяют понимание исходной ситуации. Задача о целочисленном количестве предметов требует большего, чем выполнение алгебраических равенств.

Самопроверка решения

• Два неизвестных обозначают именно количества билетов, а не цены.
• Второе уравнение складывает выручку в одной денежной единице: тенге.
• Ответы целые и неотрицательные; их сумма совпадает с общим количеством.
• Если цены видов равны, выручка не позволяет определить пропорцию; если получилась дробь, задача может описывать невозможные данные.