Сочетание углов в треугольнике и вписанной окружности для 8 класса — упражнения с разбором

Печатный лист: треугольник с вписанной окружностью

Обозначения для всех задач: ABC — треугольник, I — центр вписанной окружности; E и F — точки касания окружности со сторонами AB и AC. Отрезки AI, BI, CI являются биссектрисами; IE ⟂ AB и IF ⟂ AC. Для любого треугольника A + B + C = 180°. Важно: когда используется угол EIF, точки E и F лежат именно на сторонах угла A.

Опорные равенства: ∠BIC = 90° + A/2; ∠CIA = 90° + B/2; ∠AIB = 90° + C/2; ∠EIF = 180° − A. Последняя формула следует из четырёхугольника AE​IF с двумя прямыми углами при E и F. Любой угол треугольника строго больше 0° и меньше 180°.

Перед вариантами — проверьте, какие углы относятся к центру

Точка I — не центр описанной окружности, а центр вписанной. Отрезок IE — её радиус до касания с AB, поэтому IE перпендикулярен AB. Часть угла A между AB и AI составляет ровно A/2, потому что AI — биссектриса. В формулах ∠BIC связан с противолежащим углом A, тогда как ∠AIB связан с C. Путаница букв — наиболее частая причина неверных ответов при правильной арифметике.

Пробный разбор: пусть A = 68°, B = 47°, тогда C = 65°. Получаем ∠BIC = 124°, ∠CIA = 113,5°, ∠AIB = 122,5°. Проверка трёх углов вокруг точки I: 124° + 113,5° + 122,5° = 360°. Для точек касания на сторонах угла A: ∠EIF = 180° − 68° = 112°. Все углы в градусах, округление не требуется.

Перед работой нарисуйте произвольный треугольник, отметьте биссектрисы и I. Опустите перпендикуляры к AB и AC. Эта схема подходит для обоих вариантов: вместо двенадцати разных чертежей достаточно одного корректного рисунка с подписанными элементами.

Вариант I

Впишите вычисления рядом с номером. Для каждого задания укажите формулу.

1. A = 46°, B = 58°. Найдите C и ∠AIB. Решение: __________________________
2. C = 64°. Найдите ∠AIB. Решение: __________________________
3. A = 80°. Найдите ∠BIC. Решение: __________________________
4. B = 72°. Найдите ∠CIA. Решение: __________________________
5. A = 52°. Найдите ∠EIF. Решение: __________________________
6. A = 74°. Найдите ∠BAI. Решение: __________________________
7. ∠BIC = 119°. Найдите A. Решение: __________________________
8. A = 50°, B = 60°. Найдите ∠CIA и ∠AIB. Решение: __________________________

Вариант II

Впишите вычисления рядом с номером. Для каждого задания укажите формулу.

1. A = 38°, C = 92°. Найдите B и ∠CIA. Решение: __________________________
2. ∠AIB = 137°. Найдите C. Решение: __________________________
3. ∠EIF = 107°. Найдите A. Решение: __________________________
4. B = 84°. Найдите ∠CBI. Решение: __________________________
5. A = 35°, B = 75°. Найдите ∠BIC и ∠AIB. Решение: __________________________
6. A = 90°. Найдите ∠EIF и ∠BIC. Решение: __________________________
7. ∠CIA = 132°, A = 48°. Найдите B и C. Решение: __________________________
8. Может ли ∠BIC = 88° в невырожденном треугольнике? Объясните. Решение: __________________________

Промежуточный контроль: найдите исходный угол

Часто в задачах задан угол при центре вписанной окружности, а требуется восстановить угол треугольника. Например, ∠AIB = 116°. Сначала вычтем 90° и получим 26°, затем удвоим: C = 52°. Аналогично, если ∠CIA = 141°, то B = 2·51° = 102°. Эти результаты согласуются с геометрией: угол между биссектрисами при I всегда тупой, но его величина меньше 180°.

Углы, образованные отрезками к точкам касания, ведут себя иначе. Если ∠EIF = 150°, то A = 30°. Отсюда ∠BAI = 15°. Если ∠EIF = 60°, то A = 120°, и угол между AB и биссектрисой AI равен 60°. Нельзя в обоих случаях просто поделить ∠EIF пополам: он не является углом исходной вершины A.

Контроль суммы: при A = 52°, B = 48°, C = 80° углы вокруг I равны ∠BIC = 116°, ∠CIA = 114°, ∠AIB = 130°; сумма 360°. Для любого выбора невырожденного треугольника она будет такой же. Если сумма не 360°, проверьте, не подставили ли вместо A соседний угол или не забыли ли деление на два.

Ответы для проверки учителем

Два коротких доказательства, которые полезно записать

Почему ∠BIC = 90° + A/2? В треугольнике BIC углы при B и C равны B/2 и C/2; угол при I равен 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2 = 90° + A/2.

Почему ∠EIF = 180° − A? Углы AEI и AFI прямые, поэтому из суммы углов четырёхугольника AE​IF: ∠EIF = 360° − 90° − 90° − A = 180° − A.

Проверьте смысл формул, а не только числа

Если ученик ответил, что ∠BIC меньше 90°, это невозможно при невырожденном треугольнике: A > 0°, следовательно 90° + A/2 > 90°. Но угол ∠EIF может быть и острым, и тупым: например, при A = 120° он равен 60°, а при A = 40° равен 140°. Радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам, поэтому их угол не равен автоматически углу A. В равнобедренном треугольнике некоторые полученные углы могут совпасть — это не причина заменять общую формулу частным случаем.

Учителю удобно оценивать объяснение отдельно от ответа: результат может оказаться верным из-за удачной догадки, хотя неверно выбрана вершина треугольника. Для заданий 7, 10 и 15 требуется обратное вычисление: сначала вычесть 90°, затем умножить на 2. Для задания 16 одного числового сравнения недостаточно — нужно указать, почему угол строго больше прямого.

Как оформить решение на листе

Пример записи для задания 11: «Дано ∠EIF = 107°. Так как IE ⟂ AB и IF ⟂ AC, в четырёхугольнике AE​IF сумма двух прямых углов равна 180°. Поэтому A + ∠EIF = 180°, откуда A = 73°». Здесь каждое действие связано с геометрической причиной; запись только «180 − 107» не объясняет, почему из 180 вычитается именно этот угол.

Для задания 15 сначала найдите B по формуле угла CIA, затем подставьте полученное значение в сумму внутренних углов треугольника. Если сразу вычитаете из 180° угол при центре 132°, вы получите неверный C, потому что угол CIA не равен углу B. На чертеже не следует полагаться на приблизительную величину углов: схематический рисунок может быть не в масштабе.

Оценивание

За каждый верно найденный угол — 1 балл; за формулу или внятное обоснование — ещё 1 балл. Для задания с несколькими углами начислите по 1 баллу за каждый ответ и 1 за ход решения. Нельзя считать правильным ответ вне интервала (0°; 180°) для углов треугольника.