Отличие гистограммы от столбчатой диаграммы — практикум с ответами для 8 класса

Кейс: сколько времени посетители ждут выдачи книг?

Школьная библиотека исследовала 60 ожиданий от прихода до выдачи книги. Время измеряется в минутах и является числовой величиной; его удобно группировать по непрерывным интервалам. Ещё библиотекарь записал цель обращения каждого посетителя: это категории, их удобно сравнивать столбчатой диаграммой. Данные учебные, не относятся к реальной организации.

Два вида исходных данных

В первой таблице крайние скобки означают, что верхний край [20; 30] включён, остальные верхние границы исключены. Вторая таблица делит тех же 60 человек по цели обращения; это не совместное распределение «время × цель». Нельзя утверждать, сколько человек сдавало книгу и ждало 10 минут, без третьей таблицы.

Выбор математической модели

Гистограмма нужна для количественных интервалов времени. При неравных ширинах пользуются плотностью частоты; площадь прямоугольника пропорциональна числу наблюдений. Столбчатая диаграмма нужна для категорий: высота отдельного столбца — число обращений, расстояние между категориями не измеряется минутами, зазоры допустимы. Ни одна из таблиц не содержит процентов, пока их не вычислили.

Построение первого и второго рисунка

Для гистограммы начните с горизонтальной оси времени: разделите её на 0, 5, 10, 20 и 30 минут. Если на бумаге 1 клетка соответствует 5 минутам, ширины столбцов будут 1, 1, 2 и 2 клетки. Над первым промежутком поставьте высоту 3,6, над вторым — 4,4, над третьим — 1,6, над четвёртым — 0,4. Важны и высота, и ширина: третий промежуток длиннее второго, хотя его плотность меньше.

Для столбчатой диаграммы категорий подпишите три названия: «взять книгу», «сдать книгу», «продлить выдачу». Здесь столбцы одинаковой условной ширины, их высоты равны 28, 19 и 13 посетителям. Зазоры между столбцами допустимы и даже полезны: «взять» и «сдать» — не соседние точки числового интервала. Перестановка категорий не меняет смысл данных.

Ширину числового интервала нельзя выбирать произвольно ради красивой картинки. Если сделать промежутки [10; 20) и [20; 30] вдвое уже, чем [0; 5), получится неверная шкала. И наоборот, у категориальных столбцов нельзя понимать визуальное расстояние между категориями как прошедшие минуты.

14 связанных задач для проверки понимания

1. № 1. Какой тип диаграммы выбрать для распределения времени ожидания?
2. № 2. Какой тип выбрать для целей «взять», «сдать», «продлить»?
3. № 3. Проверьте общий размер наблюдений по первой таблице.
4. № 4. Проверьте сумму по второй таблице.
5. № 5. Какова плотность для интервала [5; 10)?
6. № 6. Какую плотность имеет интервал [10; 20)?
7. № 7. Какой интервал даст самый высокий прямоугольник гистограммы?
8. № 8. В каком из интервалов [10; 20) и [20; 30] частота больше и во сколько раз?
9. № 9. Какая цель обращения встречается чаще всего?
10. № 10. Чему равна разница высот столбцов «взять» и «продлить»?
11. № 11. Сколько посетителей ждали меньше 10 минут?
12. № 12. Какова доля ждавших не менее 10 минут в процентах?
13. № 13. Можно ли назвать плотность 4,4 «4,4 посетителя» и поставить её высотой категориального столбца?
14. № 14. Можно ли установить по двум таблицам, сколько среди 28 взявших книгу ждали 20 минут и более?

Подробные ответы и единицы измерения

1. Гистограмму: измеряется количественный признак и есть числовые интервалы.
2. Столбчатую диаграмму категорий; порядок категорий произвольный.
3. 18 + 22 + 16 + 4 = 60 человек.
4. 28 + 19 + 13 = 60 посетителей.
5. 22/5 = 4,4 человека на минуту: это высота гистограммного столбца, не «скорость обслуживания».
6. 16/10 = 1,6 человека на минуту.
7. [5; 10): плотность 4,4 — максимальная.
8. 16 против 4; в четыре раза.
9. «Взять книгу»: 28 посетителей.
10. 28 − 13 = 15 человек.
11. 18 + 22 = 40 человек, при условии что все ожидания неотрицательны, как указано в интервалах.
12. (16 + 4)/60·100% = 33⅓% ≈ 33,3%; к границе 10 относится третий интервал.
13. Нет: это чел./мин, а не число человек; число людей во втором интервале — 22.
14. Нет. Таблицы дают только отдельные распределения. Среди всего потока ожидавших ≥20 минут — 4, но их цели не указаны.

Как избежать неправильного вывода по диаграмме

Вторая таблица говорит, что 28 посетителей взяли книгу, а первая — что 40 из 60 ждали менее 10 минут. Но неизвестно, какие именно люди относятся одновременно к этим двум группам. Поэтому нельзя написать, что 28 посетителей, взявших книгу, не задержались в очереди. Для такого вывода потребовалась бы таблица, в которой каждой цели обращения сопоставлена продолжительность ожидания. Отдельные диаграммы разных признаков не дают готовой совместной статистики.

Поскольку время непрерывно, отметка 10 минут одновременно служит концом одного интервала и началом следующего. Принятое правило [5;10) и [10;20) однозначно относит наблюдение «10 минут» ко второму. Для столбчатой диаграммы цели обращения подобная граничная проблема обычно отсутствует: «сдать книгу» — название категории, а не число на оси. Подписи и единицы позволяют понять эту разницу ещё до вычислений.

Результат «33⅓% ждали не менее 10 минут» получен по 20 посетителям из 60. Его допустимо округлить до 33,3%, но нельзя заменить 33,3 человека: процент описывает долю, а количество людей — целое число. Аналогично 4,4 человека на минуту на вертикальной оси гистограммы не является числом людей. Это плотность наблюдений по интервалу ожидания и нужна только для правильной площади столбца.

Два самостоятельных эскиза без программ

На клетчатой бумаге нарисуйте гистограмму: отметьте по горизонтали 0, 5, 10, 20, 30 минут с расстояниями, пропорциональными длинам промежутков; высоты возьмите 3,6; 4,4; 1,6; 0,4. Вторым рисунком постройте три раздельных столбца высотой 28, 19, 13 с названиями целей. Проверьте: первый рисунок использует ось «чел./мин», второй — ось «человек».

Дополнительная проверка достаточности данных

За каждые 5 минут можно вычислять долю посетителей, но по интервальной таблице нельзя установить точное ожидание каждого отдельного человека. Например, в интервале [10; 20) находится 16 случаев, однако неизвестно, сколько из них ждали ровно 12 или 18 минут. Поэтому нельзя честно вычислить точное среднее время ожидания без исходных индивидуальных данных. Можно только приблизительно оценить его по серединам интервалов — и прямо назвать результат оценкой.

Для иллюстрации грубая оценка по серединам 2,5; 7,5; 15; 25 минут равна (18·2,5 + 22·7,5 + 16·15 + 4·25)/60 = 550/60 ≈ 9,17 мин. Это не точное среднее; настоящий результат зависит от значений внутри интервалов. Такое различие важно при чтении и гистограмм, и любых сгруппированных данных.

Почему похожие картинки отвечают на разные вопросы

Гистограмма отвечает: как распределяется измеренное время? Столбчатая диаграмма отвечает: как соотносятся типы обращения? Если перепутать высоту с площадью у интервалов разной ширины, получится ложное сравнение: 22 человека за 5 минут ширины и 16 человек за 10 минут ширины нельзя рисовать одинаковыми широкими столбцами с высотами 22 и 16, сохраняя трактовку площадей как частот.