Уравнение с рациональной дробью равной нулю — карточки с ответами, 8 класс

Наблюдение: когда дробь действительно равна нулю?

Возьмите три дроби: 0/7=0, 0/(-4)=0, 0/0 не определено. При решении уравнения вида P(x)/Q(x)=0 действуют сразу два условия: P(x)=0 и Q(x)≠0. Одна только подстановка нуля в числитель не гарантирует корень.

Проверяем гипотезу на примерах

Пример 1. (x−6)/(x+2)=0: числитель нулевой при x=6, знаменатель равен 8. Ответ: 6.

Пример 2. (x²−16)/(x−4)=0. Числитель нулевой при x=−4 или 4. Значение 4 запрещено: знаменатель равен 0. Ответ: −4. Если сократить x−4, точку x=4 всё равно надо исключить из исходной области определения.

Пример 3. (x²+9)/(x−1)=0 не имеет действительных решений: x²+9 не обращается в ноль ни при каком действительном x.

Вывод исследования

Алгоритм из четырёх действий: найти нули числителя, выписать запреты знаменателя, вычеркнуть запрещённые кандидаты, подставить допустимые в исходную дробь. В примерах с квадратными выражениями используйте разность квадратов и разложение на множители. Пустое множество корней — полноценный математический результат.

Самостоятельное исследование: 18 уравнений

Запишите отдельно множество нулей числителя и множество запрещённых значений знаменателя. Затем дайте окончательный ответ.

1. (x−7)/(x+1)=0
2. (2x+10)/(3x−1)=0
3. (x²−49)/(x−7)=0
4. (x²−9)/(x+3)=0
5. (x²−4x)/x=0
6. (3x−12)/(x−4)=0
7. (x²+x−12)/(x+4)=0
8. (x²−25)/(x²−5x)=0
9. (x²−1)/(x²−1)=0
10. (x²−6x+9)/(x+2)=0
11. (2x²−8)/(x²−1)=0
12. (x²−8x+15)/(x−5)=0
13. (x²+4)/(x−2)=0
14. (x²−4x+4)/(x−2)=0
15. (5x+15)/(x²−9)=0
16. (x²+2x)/(x+1)=0
17. (x²−2x−8)/(x²−16)=0
18. (x²−16)/(x²+4x)=0

Как оформлять доказательство каждого ответа

Образец А. Возьмём (x²−49)/(x−7)=0. Сначала ищем все возможные корни по числителю: x²−49=(x−7)(x+7)=0, откуда x=7 или x=−7. Затем выписываем запрет x≠7, не пропуская его даже после разложения. Поэтому единственный допустимый корень x=−7. Подставляем: (49−49)/(−14)=0. Здесь сокращение на x−7 возможно только при явно сохранённом ограничении x≠7.

Образец Б. Для (3x−12)/(x−4)=0 сначала получаем x=4 по числителю, но знаменатель при x=4 тоже нулевой. Кандидатов после проверки не осталось, так что ответ — корней нет. Не надо писать x=4 и затем «сократить четвёрку»: значение x вообще подставляется в выражение как число, а не как множитель, который можно произвольно убрать.

Образец В. В дроби (x²+4)/(x−2) числитель строго положителен на всей действительной прямой. Это означает, что не существует даже кандидатов в корни. Дополнительное ограничение x≠2 не способно создать нуль. Здесь удобно сформулировать причину отсутствия решений раньше любых вычислений со знаменателем.

При работе с квадратным числителем различайте ситуацию x²−c², где могут появиться два действительных кандидата, и x²+c² при c≠0, где нулей нет. Удвоенный корень (x−a)²=0 даёт только одно числовое значение a, а не два разных решения.

Самая частая ошибка — записать ответ по получившемуся после сокращения выражению, забыв исходный запрет. Например, (x²−9)/(x+3) на области x≠−3 действительно равно x−3. Из линейного уравнения x−3=0 получаем x=3, и он допустим. Но обратное рассуждение «x=−3 тоже подходит потому, что после сокращения дроби уже нет» неверно.

Чтобы доказать ответ полностью, одной фразы «числитель равен нулю» недостаточно. Каждое найденное число требует короткой проверки знаменателя. Для отрицательных значений x будьте особенно аккуратны с квадратом: например, (−5)²=25, а не −25.

Если задача дана для распечатки, удобно организовать решение в три столбца: возможные нули числителя, ограничения знаменателя, итоговый ответ. Так учитель легко увидит, за какое из действий ученик ошибочно включил недопустимый корень. Эти три столбца особенно полезны в заданиях с одинаковыми множителями сверху и снизу.

Ответы с проверкой исходного знаменателя

1. x=7; 7+1=8 ≠ 0.
2. x=−5; 3(−5)−1=−16 ≠0.
3. x=−7. Нули числителя ±7; 7 исключён, так как знаменатель равен нулю.
4. x=3. Значение −3 запрещено знаменателем.
5. x=4. Числитель x(x−4)=0; x=0 не входит в ОДЗ.
6. Решений нет: единственный нуль числителя x=4 запрещён знаменателем.
7. x=3; числитель (x+4)(x−3), значение −4 исключено.
8. x=−5; x=5 запрещён, при −5 знаменатель 50 ≠ 0.
9. Решений нет. При x ≠ ±1 дробь равна 1; при ±1 не определена.
10. x=3, двойной нуль числителя; знаменатель 5 ≠0.
11. x=−2 или x=2; для обоих x²−1=3 ≠0.
12. x=3; фактор (x−5) сокращать можно только при x≠5.
13. Нет действительных решений, поскольку x²+4 > 0 при всех действительных x.
14. Решений нет: числитель (x−2)²=0 только при x=2, который исключён.
15. Решений нет: x=−3 обращает в ноль и числитель, и знаменатель.
16. x=0 или x=−2; оба отличаются от запрещённого x=−1.
17. x=−2; x=4 обнуляет знаменатель, а −2 допустим.
18. x=4. Числитель обращается в ноль при ±4, но −4 запрещён знаменателем.

Что обнаруживается на заданиях 3, 6, 9, 14 и 15?

При сокращении выражений иногда исчезает видимый знаменатель, но не исходное ограничение. Например, при x≠4 дробь (3x−12)/(x−4)=3: она вообще не может быть нулевой. В заданиях с x²−1 в числителе и знаменателе дробь равна единице только на своей области определения. Сокращение — преобразование на допустимых x, а не разрешение подставлять запрещённые точки.

Самопроверка учителя: за каждый пример 1 балл за нули числителя и 1 балл за проверку знаменателя; в задачах без решений обязательно должно быть указано, почему решения отсутствуют. При совпадении нулей особенно важно предъявить исходный знаменатель, а не сокращённый.