Рациональное неравенство с двумя критическими точками: примеры и объяснения для 9 класса

Две точки на прямой: что именно отмечать

Рациональная дробь (x−a)/(x−b), где a≠b, меняет знак в двух местах. При x=a числитель нулевой, а дробь определена, если a≠b; при x=b знаменатель нулевой, и эту точку всегда исключают. Задание — не только найти интервалы, но и отличить допустимый нуль от запрещённого полюса.

Образец. Решим (x−3)/(x+2)≤0. Критические точки: −2 (выколотая) и 3 (нуль). Из таблицы видно: дробь отрицательна между ними и равна нулю при 3. Ответ: (−2;3]. Подстановка x=0 даёт −3/2<0; подстановка x=4 даёт 1/6>0.

Уровень I. Упорядочивание критических точек

Сначала выпишите числитель=0 и знаменатель=0, затем отметьте интервалы.

1. (x−2)/(x+1)>0
2. (x+4)/(x−3)≤0
3. (x−7)/(x−1)≥0
4. (x+2)/(x+6)<0
5. (3−x)/(x+5)>0
6. (x−1)/(4−x)≥0

Уровень II. Когда коэффициент при x отрицательный

Для 5−x и 2−x привычное правило «справа плюс» может не работать. Подставляйте одно тестовое число на каждом интервале вместо механического чередования по памяти.

1. (x+8)/(2−x)≤0
2. (5−x)/(x+1)<0
3. (x+7)/(x−2)>0
4. (2x−6)/(x+4)≤0
5. −(x−4)/(x+2)>0
6. (x+1)/(3−x)≥0

Уровень III. Строгие и нестрогие знаки

В заданиях 13–18 особенно проверьте квадратные и круглые скобки в записи интервалов, а также объединение двух лучей.

1. (x−6)/(x+3)<0
2. (x+5)/(x−5)≥0
3. (8−x)/(x−2)≤0
4. (x−9)/(x+2)≥0
5. (x+3)/(x−8)≤0
6. (x−4)/(x+7)>0

Три развёрнутых контрольных решения

Решение для задания 2. Имеем (x+4)/(x−3)≤0. Точка x=−4 обнуляет числитель; точка x=3 запрещена знаменателем. На отрезке от −4 до 3 дробь отрицательна, а при x=−4 равна нулю. Проверка x=0: 4/(−3)=−4/3≤0. При x=−5 обе части отрицательны, их отношение положительно. Поэтому итог [−4;3). Обратите внимание на разные скобки у нуля и полюса.

Решение для задания 7. У дроби (x+8)/(2−x)≤0 точки −8 и 2. При x=−9 числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна; при x=0 обе части положительны, дробь положительна; при x=3 числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна. Следовательно, подходят x≤−8 или x>2. При x=−8 дробь равна нулю, а при 2 запрещена.

Решение для задания 15. В неравенстве (8−x)/(x−2)≤0 знаменатель равен нулю при x=2, числитель — при x=8. Для x=0 имеем 8/(−2)<0, поэтому весь луч x<2 подходит. Для x=5 значение 3/3>0, следовательно промежуток (2;8) не подходит. Для x=9 значение (−1)/7<0; вместе с точкой 8 это даёт x≥8. Ответ x<2 либо x≥8.

Обратите внимание: «две критические точки» вовсе не означает, что ответ непременно является одним промежутком между ними. Если оба линейных множителя в числителе и знаменателе имеют положительные коэффициенты при x, знаки на крайних лучах часто совпадают, и ответом при требовании положительного знака будут два луча. Если один коэффициент отрицательный, картина может стать противоположной.

Наличие одинакового размера выборки или таблицы здесь ни при чём: все упражнения посвящены исключительно знакам рациональной дроби. Старайтесь не заменять проверку исходного выражения правилом «плюс-минус-плюс», пока не определили знаки множителей на крайних интервалах.

Полный ключ по уровням

Уровень 1

1. (−∞;−1)∪(2;+∞). Нуль 2 исключён из строгого знака, −1 — полюс.
2. [−4;3). Нуль −4 включён, полюс 3 исключён.
3. (−∞;1)∪[7;+∞). В 1 знаменатель 0.
4. (−6;−2). На промежутке числитель положителен, знаменатель отрицателен.
5. (−5;3): числитель и знаменатель положительны.
6. [1;4). Нуль в 1 подходит, в 4 делить нельзя.

Уровень 2

7. (−∞;−8]∪(2;+∞). В −8 дробь нулевая, 2 запрещено.
8. (−∞;−1)∪(5;+∞). При x=5 дробь нулевая; x=−1 запрещён.
9. (−∞;−7)∪(2;+∞). Полюс 2 и нуль −7 исключены.
10. (−4;3]. Числитель 2(x−3), допустимый нуль 3 включён.
11. (−2;4). Знак отрицания меняет знак всей дроби.
12. [−1;3). Полюс 3 не включён.

Уровень 3

13. (−3;6). Только между критическими точками дробь отрицательна.
14. (−∞;−5]∪(5;+∞). Нуль при −5 допустим; 5 запрещено.
15. (−∞;2)∪[8;+∞). При 8 дробь равна нулю.
16. (−∞;−2)∪[9;+∞). При −2 выражение не определено.
17. [−3;8). Полюс справа исключён.
18. (−∞;−7)∪(4;+∞). На центральном промежутке знак отрицателен.

Как проверить качество ответа

Для проверки возьмите три тестовых значения: левее обеих точек, строго между ними и правее обеих. Подставьте их в исходную, а не в сокращённую или преобразованную дробь. Затем отдельно проверьте значение числителя в его нуле и значение знаменателя в полюсе. Наличие знака «равно» разрешает включить только допустимый нуль, но не запрещённый полюс.

Если числитель и знаменатель меняют знаки одновременно в одной точке, это уже другой случай: могут возникать общие множители и дополнительные исключения. Здесь все пары критических точек в условиях различны. Задания на кратные корни вынесены в отдельный материал, поэтому не следует применять к ним это правило без изменения таблицы.