Формула тангенса разности двух углов — задания на закрепление, 10 класс

Проверка исходного навыка

На листе нужны только значения тангенсов углов и правило о запрещённом нулевом знаменателе. В первых двух заданиях ответ проверяется через знакомые углы 30°, 45° и 60°.

Если tg α и tg β существуют и 1 + tg α · tg β ≠ 0, то tg(α−β) = (tg α−tg β)/(1+tg α·tg β). Формула следует из sin(α−β)/cos(α−β). Если cos(α−β)=0, у тангенса разности нет значения.

11 заданий: вычислить, объяснить, распознать недопустимый случай

1. Вычислите tg(60°−30°).
2. Найдите tg(45°−30°) и запишите точное значение.
3. Если tg α = 2 и tg β = 1/3, найдите tg(α−β).
4. Даны tg α = 1/2, tg β = 1/3. Чему равен тангенс разности?
5. При tg α = −1, tg β = 2 определите tg(α−β).
6. Существует ли tg(α−β), если tg α = 2, tg β = −1/2?
7. Для tg α = 1/2 и tg β = −1/2 вычислите tg(α−β).
8. Вычислите tg(45°−60°), не используя десятичные дроби.
9. Известно: tg(α−β)=1, tg α=2. Найдите tg β.
10. Почему формула неприменима при tg α = 1 и tg β = −1?
11. Если tg α = −1/4 и tg β = 1/2, найдите tg(α−β).

Таблица самопроверки

Подробный ключ

1. tg30° = √3/3. По формуле (√3−√3/3)/(1+1)=√3/3.
2. 2−√3: (1−√3/3)/(1+√3/3) = 2−√3 после рационализации.
3. 1: (2−1/3)/(1+2/3)=(5/3)/(5/3)=1.
4. 1/7: (1/2−1/3)/(1+1/6)=(1/6)/(7/6).
5. 3: (−1−2)/(1−2)=−3/(−1)=3.
6. Не существует: 1+2·(−1/2)=0, значит cos(α−β)=0 при определённых tg α и tg β.
7. 4/3: (1/2+1/2)/(1−1/4)=1/(3/4).
8. √3−2: tg(−15°)=−tg15°=√3−2.
9. 1/3. (2−b)/(1+2b)=1, следовательно 2−b=1+2b, b=1/3; знаменатель 5/3 ≠0.
10. В формуле знаменатель 1+1·(−1)=0. Тангенс разности не определён, хотя тангенсы каждого исходного угла существуют.
11. −6/7: (−1/4−1/2)/(1−1/8)=(−3/4)/(7/8).

Три частые ошибки

Ошибка 1: в знаменателе пишут 1−tg α·tg β. Это неверно: у тангенса РАЗНОСТИ внизу стоит знак плюс. Сверьте задания 3 и 4.

Ошибка 2: при вычислении tg(45°−60°) теряют знак минус. Тангенс нечётен: tg(−x)=−tg x, поэтому ответ √3−2 отрицательный.

Ошибка 3: нулевой знаменатель формулы объявляют «нулевым ответом». Это признак отсутствия тангенса разности, а не равенства нулю. В заданиях 6 и 10 нельзя делить на ноль.

Оценивание: 1 балл за результат в каждом пункте, ещё 1 балл за обоснование в заданиях 6, 9 и 10. Максимум 14 баллов. Для учителя полезно отдельно обсудить, почему у исходных углов тангенсы могут быть определены, а у их разности — нет.