Преобразование разности синусов в произведение — рабочий лист для 10 класса

Правило и образец для печатного рабочего листа

Разность двух синусов заменяется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ: sin A−sin B=2cos((A+B)/2)sin((A−B)/2). Важен порядок: перестановка синусов меняет знак результата. Формула работает для любых действительных углов без ограничений ОДЗ.

Образец: sin 10x−sin 4x=2cos 7x·sin 3x. Сначала вычислите полусумму 7x, затем полуразность 3x; обратно раскройте произведение, чтобы удостовериться в тождестве.

Вариант А: 8 самостоятельных заданий

Фамилия: ____________________ Дата: ____________ На каждое задание оставьте место для полусуммы и полуразности; в задачах с градусами упростите численное значение, если это возможно.

1. sin 7x − sin 3x. Ответ: __________________________
2. sin 9u − sin u. Ответ: __________________________
3. sin(3a+b) − sin(3a−b). Ответ: __________________________
4. sin 70° − sin 10°. Ответ: __________________________
5. sin 2x − sin 6x. Ответ: __________________________
6. sin(π/2+x) − sin(π/2−x). Ответ: __________________________
7. sin 11t − sin 5t. Ответ: __________________________
8. sin(x+y) − sin(x−y). Ответ: __________________________

Вариант Б: 8 новых заданий

Фамилия: ____________________ Дата: ____________ Независимый вариант: ни одно выражение из варианта А здесь не повторяется.

1. sin 8z − sin 2z. Ответ: __________________________
2. sin 13p − sin 7p. Ответ: __________________________
3. sin(4m−n) − sin(4m+n). Ответ: __________________________
4. sin 100° − sin 20°. Ответ: __________________________
5. sin t − sin 5t. Ответ: __________________________
6. sin(π−a) − sin a. Ответ: __________________________
7. sin(2r+3s) − sin(2r−3s). Ответ: __________________________
8. sin 15° − sin 75°. Ответ: __________________________

Ответы к варианту А

1. sin 7x − sin 3x → 2 cos 5x · sin 2x.
2. sin 9u − sin u → 2 cos 5u · sin 4u.
3. sin(3a+b) − sin(3a−b) → 2 cos 3a · sin b.
4. sin 70° − sin 10° → 2 cos 40° sin 30° = cos 40°.
5. sin 2x − sin 6x → −2 cos 4x · sin 2x.
6. sin(π/2+x) − sin(π/2−x) → 0: средний угол π/2, sin разности x, cos(π/2)=0.
7. sin 11t − sin 5t → 2 cos 8t · sin 3t.
8. sin(x+y) − sin(x−y) → 2 cos x · sin y.

Ответы к варианту Б

1. sin 8z − sin 2z → 2 cos 5z · sin 3z.
2. sin 13p − sin 7p → 2 cos 10p · sin 3p.
3. sin(4m−n) − sin(4m+n) → −2 cos 4m · sin n.
4. sin 100° − sin 20° → 2 cos 60° sin 40° = sin 40°.
5. sin t − sin 5t → −2 cos 3t · sin 2t.
6. sin(π−a) − sin a → 0: sin(π−a)=sin a; также cos(π/2)=0.
7. sin(2r+3s) − sin(2r−3s) → 2 cos 2r · sin 3s.
8. sin 15° − sin 75° → −2 cos 45° · sin 30° = −√2/2.

Проверка знака на двух примерах

Для sin 2x−sin 6x имеем полуразность −2x. Поэтому результат −2cos 4x sin 2x: минус нельзя терять. Для sin(4m−n)−sin(4m+n) полуразность равна −n, поэтому также появляется внешний минус.

Как проверить свой ответ обратным преобразованием

Обратная проверка особенно удобна для углов вида 3a+b и 3a−b. Например, из 2cos3a sin b по формуле произведения синуса на косинус получаем sin(3a+b)+sin(b−3a), то есть sin(3a+b)−sin(3a−b). Получилось исходное выражение; знак выбран верно.

Проверьте вариант А, №4: равенство sin70°−sin10°=cos40° означает, что разность двух чисел меньше единицы совпадает с косинусом острого угла. Это согласуется с приблизительными значениями 0,94−0,17≈0,77 и cos40°≈0,77; приближение служит только контролем знака, а не заменяет точное доказательство.

При разных обозначениях углов работайте как с обычными буквенными выражениями: для A=2r+3s, B=2r−3s полусумма 2r, полуразность 3s. Не допускайте распространённой ошибки: вычитать только коэффициенты при r и забывать слагаемые с s.

Критерии оценки

За каждое задание: 1 балл за верную полусумму, 1 балл за верную полуразность и знак, 1 балл за итоговое тождественное произведение. Максимум 24 балла на один вариант; 21–24 — отлично, 16–20 — хорошо, 11–15 — нужно повторить отдельные действия, 0–10 — повторить формулу. Численные тождества должны быть верны в точных значениях, не только приблизительно.

Для самопроверки поменяйте местами A и B в любом задании и убедитесь, что новый результат противоположен первоначальному. Это простой способ обнаружить потерю знака и отличить данный навык от преобразования суммы синусов.