Преобразование суммы косинусов в произведение — практикум с ответами для 10 класса

Метод: полусумма и полуразность углов

Для любых действительных углов A и B: cos A+cos B=2cos((A+B)/2)cos((A−B)/2). В отличие от разности синусов, здесь оба множителя — косинусы; порядок исходных слагаемых не меняет результат, потому что косинус чётен.

Три разобранных примера

Пример 1. cos 7x+cos 3x = 2cos 5x · cos 2x. Полусумма: 5x, полуразность: 2x. После раскрытия произведения получим обратно сумму косинусов.

Пример 2. cos 110°+cos 10° = 2cos 60° cos 50° = cos 50°. Точное значение получается благодаря cos 60°=1/2.

Пример 3. cos(a+2b)+cos(a−2b) = 2cos a cos 2b. Полусумма аргументов равна a, полуразность 2b; нельзя делить пополам весь знак «+» по отдельности.

Практикум: продолжите разбор

Для первых пяти упражнений выпишите полусумму и полуразность до итогового ответа. В оставшихся сначала попробуйте представить упрощение без вычисления отдельных косинусов.

1. cos 5x + cos x. Подсказка: найдите (A+B)/2 и (A−B)/2.
2. cos 9t + cos 3t. Подсказка: найдите (A+B)/2 и (A−B)/2.
3. cos(4a+b) + cos(4a−b). Подсказка: найдите (A+B)/2 и (A−B)/2.
4. cos 80° + cos 20°. Подсказка: найдите (A+B)/2 и (A−B)/2.
5. cos 75° + cos 15°. Подсказка: найдите (A+B)/2 и (A−B)/2.
6. cos 150° + cos 30°
7. cos 2z + cos 8z
8. cos(2u+3v) + cos(2u−3v)
9. cos(π/3+x) + cos(π/3−x)
10. cos 13p + cos 7p
11. cos 100° + cos 40°
12. cos 3x + cos(−x)
13. cos(π−t) + cos t
14. cos 11y + cos 5y
15. cos(x+y) + cos(x−y)

Точные решения по шагам

1. 1) cos 5x + cos x = 2 cos 3x · cos 2x.
2. 2) cos 9t + cos 3t = 2 cos 6t · cos 3t.
3. 3) cos(4a+b) + cos(4a−b) = 2 cos 4a · cos b.
4. 4) cos 80° + cos 20° = 2 cos 50° cos 30° = √3 cos 50°.
5. 5) cos 75° + cos 15° = 2 cos 45° cos 30° = √6/2.
6. 6) cos 150° + cos 30° = 0: 2 cos 90° · cos 60° = 0.
7. 7) cos 2z + cos 8z = 2 cos 5z · cos 3z.
8. 8) cos(2u+3v) + cos(2u−3v) = 2 cos 2u · cos 3v.
9. 9) cos(π/3+x) + cos(π/3−x) = 2 cos(π/3)cos x = cos x.
10. 10) cos 13p + cos 7p = 2 cos 10p · cos 3p.
11. 11) cos 100° + cos 40° = 2 cos 70° cos 30° = √3 cos 70°.
12. 12) cos 3x + cos(−x) = 2 cos x · cos 2x (так как cos(−x)=cos x).
13. 13) cos(π−t) + cos t = 0: cos(π−t)=−cos t.
14. 14) cos 11y + cos 5y = 2 cos 8y · cos 3y.
15. 15) cos(x+y) + cos(x−y) = 2 cos x · cos y.

Почему работает формула

Обозначьте U=(A+B)/2, V=(A−B)/2. Тогда U+V=A и U−V=B. По формулам косинуса суммы и разности cos(U+V)=cosU cosV−sinU sinV, cos(U−V)=cosU cosV+sinU sinV. Складывая равенства, получаем cosA+cosB=2cosU cosV. Это не частный приём для целых коэффициентов при x, а тождество для любых действительных аргументов.

Самостоятельные контрольные вопросы

Почему cos(8z)+cos(2z) и cos(2z)+cos(8z) имеют одну и ту же итоговую форму? Потому что сумма не зависит от порядка слагаемых, а cos(−3z)=cos(3z). Чем это отличается от разности синусов? Там при перестановке слагаемых ответ меняет знак, потому что синус нечётен.

Если сумма косинусов равна нулю при некотором значении x, нельзя заключать, что каждый исходный косинус обращается в ноль. Например, cos150°+cos30°=−√3/2+√3/2=0. В формуле произведения это видно через множитель cos90°=0, при этом второй множитель cos60° не равен нулю.

Отработка полусуммы для составных аргументов

В выражении cos(2u+3v)+cos(2u−3v) оба аргумента содержат 2u. При сложении 3v взаимно уничтожаются, при вычитании 2u исчезает. Поэтому полусумма 2u, полуразность 3v. Запись 2cos(4u)cos(6v) неверна: она возникла бы при забытой операции деления пополам.

Учителю полезно проверять не только правую часть, но и черновик: две строки ((A+B)/2) и ((A−B)/2) обнаруживают ошибку раньше, чем готовый ответ. Если ученик правильно получил множители, но не довёл числовое задание до значения, можно поставить частичный балл.

Контроль «обратным ходом»

Проверьте задания 1, 6 и 9, раскрыв 2cos U cos V = cos(U+V)+cos(U−V). При нулевом результате в задании 6 дело не в нулевых исходных косинусах, а во взаимном уничтожении слагаемых. Похожая особенность есть в задании 13.

Разбор ошибки: из cos 2z+cos 8z нельзя делать 2cos 10z cos 6z. Числа 10 и 6 появились как сумма и разность без деления на два. Правильно 2cos 5z cos 3z. Для учителя: отдельно обсудите симметрию в перестановке слагаемых; она помогает отличить этот тип формулы от разности синусов.