Угол между скрещивающимися рёбрами куба — проверочная работа, 10 класс
Содержание статьи10 разделов
Проверочная: угол между скрещивающимися рёбрами
Используется один и тот же куб ABCD A₁B₁C₁D₁ с квадратным основанием и вертикальными боковыми рёбрами. Угол между скрещивающимися прямыми находят, заменив одну прямую параллельной ей прямой, пересекающей вторую. Угол выбирают в пределах от 0° до 90°.
Существенное наблюдение: все РЁБРА куба имеют лишь три взаимно перпендикулярных направления. Поэтому если два ребра скрещиваются, их направления различны и угол между содержащими их прямыми всегда 90°. Между параллельными рёбрами угол 0°, но такая пара не относится к заданной категории. Не путайте ребро и диагональ: для диагоналей возможны другие углы.
Вариант I — определите и обоснуйте
Для каждой пары: 1) установите, скрещиваются ли прямые; 2) если да, найдите угол; 3) назовите перенос или направление, которым можно доказать ответ. Имя: _____________________ Дата: __________
- AB и CC₁. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
- BC и AA₁. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
- A₁B₁ и DD₁. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
- AD и B₁C₁. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
- AB и BC. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
- AA₁ и B₁C₁. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
- AB и D₁C₁. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
- CD и BB₁. Статус: ________. Угол (если скрещиваются): ________. Обоснование: ____________________.
Вариант II — контроль геометрической логики
Набор независим от варианта I: меняются пары рёбер и точки, в которых удобно проводить параллельные переносы. Имя: _____________________ Дата: __________
- BC и DD₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
- DA и B₁C₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
- AA₁ и D₁C₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
- AB и BB₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
- C₁D₁ и AA₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
- BC и A₁D₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
- CD и AA₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
- CC₁ и A₁D₁. Положение: ________. Требуемый угол: ________. Доказательство: ____________________.
Ключ варианта I
| Задание | Ответ | Объяснение |
|---|---|---|
| 1 | скрещиваются; 90° | AB параллельна ребру DC, а DC перпендикулярна CC₁ в C. |
| 2 | скрещиваются; 90° | BC параллельна AD, а AD перпендикулярна AA₁ в A. |
| 3 | скрещиваются; 90° | A₁B₁ параллельна DC, а DC перпендикулярна DD₁ в D. |
| 4 | не скрещиваются — параллельны | Оба ребра параллельны оси AD. |
| 5 | не скрещиваются — пересекаются | Общий конец B; их угол 90° не является углом скрещивающихся прямых. |
| 6 | скрещиваются; 90° | Вертикальное AA₁ перпендикулярно направлению верхнего ребра B₁C₁. |
| 7 | не скрещиваются — параллельны | Рёбра одного направления и не имеют общих точек. |
| 8 | скрещиваются; 90° | CD параллельна AB, а AB перпендикулярна BB₁ в B. |
Ключ варианта II
| Задание | Ответ | Объяснение |
|---|---|---|
| 1 | скрещиваются; 90° | BC параллельна AD, а AD перпендикулярна DD₁ в D. |
| 2 | не скрещиваются — параллельны | Одинаковое направление от одной грани к другой. |
| 3 | скрещиваются; 90° | Вертикаль AA₁ перпендикулярна прямой, параллельной AB. |
| 4 | не скрещиваются — пересекаются | Общая вершина B; угол между ними прямой. |
| 5 | скрещиваются; 90° | Направление C₁D₁ горизонтальное, AA₁ вертикальное. |
| 6 | не скрещиваются — параллельны | Оба ребра параллельны AD. |
| 7 | скрещиваются; 90° | CD параллельна AB, а AB перпендикулярна AA₁. |
| 8 | скрещиваются; 90° | CC₁ вертикальна, A₁D₁ идёт вдоль направления AD. |
Почему угол не зависит от ребра a
Пусть длина ребра a > 0. В координатной модели направляющие векторы рёбер пропорциональны (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1). Для двух различных направлений скалярное произведение равно нулю; значит косинус угла равен нулю и угол равен 90°. Для параллельных направлений, если взять острый либо нулевой угол, получим 0°. Это объясняет все ответы без рисунка и не требует вычисления диагоналей.
Разбор классификации на двух противоположных примерах
Вариант I, задание 1: AB и CC₁ не имеют общей точки; направление AB горизонтально, CC₁ вертикально. Через C проходит DC, параллельная AB. Угол между DC и CC₁ измеряется непосредственно в C и равен 90°. Значит, между исходными скрещивающимися прямыми угол тоже 90°. Важно, что перенос выполняют параллельно, а не поворачивают ребро.
Вариант I, задание 4: AD и B₁C₁ направлены одинаково. Хотя на рисунке между ними может быть видимый «косой» промежуток, эти прямые параллельны. Если взять определение угла между любыми прямыми, его значение равно нулю; но записывать 0° в графу «угол между скрещивающимися» нельзя — исходная предпосылка неверна.
Три способа проверить прямой угол
- Перенесите одну прямую параллельно так, чтобы она пересекла другую, и найдите угол соседних рёбер куба.
- Выберите две оси координат, соответствующие направлениям рёбер: x, y и z попарно перпендикулярны.
- Представьте прямоугольную грань, в которой после переноса располагаются обе прямые: стороны такой грани образуют прямой угол.
Удобнее применять геометрический перенос: в реальном классе куб можно собрать из спичек или палочек, не изменяя направления рёбер. Упражнение развивает именно определение угла между пространственными прямыми, а не вычисление длины отрезка. Значение a, заданное для куба, здесь ни на что не влияет: при изменении масштаба все углы сохраняются.
Как не попасться на диагонали
Рассматриваем только ребра, перечисленные в условии. Диагональ грани A₁C₁ или пространственная диагональ AC₁ может идти под углом 45° к некоторым рёбрам. Если незаметно заменить ребро диагональю, получится неверная «общая формула» о 90°. Для пары рёбер сначала обязательно докажите, что они действительно скрещиваются; затем уже используйте три направления куба.
Отдельно проверьте ориентацию обозначений: D₁ — верхняя вершина над D, а не над B. Пары с индексом ₁ не всегда находятся в одной плоскости. Перенос вдоль параллельной прямой может вывести ребро из верхней грани к нижней, но угол при этом остаётся неизменным.
Оценивание и частая ловушка
За каждую пару — 3 балла: 1 за тип расположения, 1 за корректный угол либо его осознанный пропуск, 1 за обоснование. На каждый вариант максимум 24 балла. Если написано «90°» для пересекающихся AB и BC, численное значение верное, но это НЕ ответ о скрещивающихся прямых — за классификацию и правильность постановки снимаются баллы.
В задачи входит 16 пар; специально включены случаи, где нет искомого угла скрещивающихся прямых. Цель работы — прежде проверить расположение и лишь затем вычислять угол, а не механически писать 90° ко всем строкам.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.