Перпендикуляр и наклонная к плоскости: задачи и решения для 10 класса

Схема и границы применимости

Пусть P — точка вне плоскости α, H — основание перпендикуляра PH, X — другая точка плоскости. Отрезок PX называют наклонной, а PH — перпендикуляром. Тогда ∠PHX=90°, PX²=PH²+HX². Величина PH — расстояние от точки P до плоскости и одновременно кратчайшая длина соединяющего отрезка.

При X≠H длина HX положительна и PX>PH. Если X=H, получаем PX=PH: это уже не наклонная, а тот же перпендикуляр. Длины должны выражаться в одних единицах перед вычислением квадратов. Формула применима к прямоугольному треугольнику, не к произвольному.

Пограничные случаи: где легко потерять смысл

• Нельзя получить наклонную короче перпендикуляра; такое условие противоречиво.
• Для одного PH более длинной проекции соответствует более длинная наклонная; сравнение основано на возрастании квадрата длины.
• Если известны PH и PX, ищите HX по РАЗНОСТИ квадратов, а не по сумме.
• При равных проекциях из общей точки P наклонные равны, даже если идут в разные стороны плоскости.

Уровень А — 8 прямых вычислений

1. PH=5 см и HX=12 см. Найдите PX.
2. PH=8 см, HX=15 см. Найдите PX.
3. PH=7 дм, HX=24 дм. Найдите PX.
4. PH=9 м, HX=40 м. Найдите PX.
5. PH=20 см, PX=52 см. Найдите HX.
6. PH=21 м, PX=75 м. Найдите HX.
7. HX=24 см, PX=26 см. Найдите PH.
8. HX=40 дм, PX=50 дм. Найдите PH.

Уровень Б — 8 задач на сравнение и ограничения

Указывайте, какое свойство перпендикуляра и наклонной используется. При необходимости оставляйте точный корень, если он не извлекается.

1. При PH=12 см и HX₁=9 см, HX₂=16 см сравните PX₁ и PX₂.
2. При PH=16 м, PX₁=34 м, PX₂=65 м сравните HX₁ и HX₂.
3. PH=10 см, PX₁=30 см, HX₂=48 см. Найдите HX₁ и PX₂.
4. PH=7 м, PX=25 м. Во сколько раз PX длиннее PH?
5. PH=4 см, HX=15 см. Насколько PX длиннее PH?
6. Две точки X и Y равноудалены от H в плоскости. Верно ли, что PX=PY?
7. При фиксированном PH=11 см можно ли иметь наклонную PX=10 см?
8. Из точки P проведены PH и наклонная PX. Может ли их длина совпадать, если X≠H?

Уровень В — 7 прикладных задач

Сделайте схематический чертёж, подпишите прямой угол и единицы измерения. Не считайте наклонную горизонтальной проекцией.

1. Антенна высотой 2,4 м закреплена оттяжкой до точки в 3,2 м от основания. Найдите длину троса.
2. До плоскости площадки от точки P 18 см. Точка X от основания H на 24 см. Какова наклонная?
3. Лестница длиной 25 м опирается на вертикальную стену на высоте 20 м. Какое расстояние по полу от стены?
4. Высота PH=4 см, расстояния от H до X и Y равны 3 см и 12 см. Найдите обе наклонные и их разность.
5. При PH=15 см и PX=39 см точку X сдвинули в плоскости так, что HX увеличилось вдвое. Найдите новую PX.
6. Даны PX=15 см, HX=9 см. Предложен ответ PH=18 см. Исправьте.
7. PH=3 м. На каком расстоянии от H следует взять X, чтобы PX=5 м? А чтобы PX=3 м?

Ответы к уровню А

1. PX=√(5²+12²)=13 см.
2. PX=√(8²+15²)=17 см.
3. PX=25 дм.
4. PX=41 м.
5. HX=√(52²−20²)=48 см.
6. HX=√(75²−21²)=72 м.
7. PH=√(26²−24²)=10 см.
8. PH=√(50²−40²)=30 дм.

Ответы к уровню Б

1. PX₁=15 см, PX₂=20 см; вторая наклонная длиннее на 5 см.
2. HX₁=30 м, HX₂=63 м; вторая проекция длиннее на 33 м.
3. HX₁=√(30²−10²)=20√2 см; PX₂=√(10²+48²)=2√601 см; вторая наклонная больше первой.
4. 25/7 раза, приблизительно 3,57; не округляйте раньше ответа.
5. PX=√241 см, разница √241−4 см (приблизительно 11,52 см).
6. Да: PX²=PH²+HX² и PY²=PH²+HY²; при HX=HY длины равны.
7. Нет, наклонная не короче расстояния PH до плоскости.
8. Нет: при HX>0 имеем PX²=PH²+HX²>PH². Равенство лишь при X=H, когда это перпендикуляр.

Подробный разбор уровня В

1. √(2,4²+3,2²)=4 м. Трос — наклонная, единицы обе в метрах.
2. PX=√(18²+24²)=30 см.
3. √(25²−20²)=15 м. Пол и стена перпендикулярны.
4. PX=5 см; PY=√160=4√10 см; разность 4√10−5 см ≈7,65 см.
5. Сначала HX=36 см; после сдвига HX=72 см. Новая PX=√(225+5184)=√5409 см.
6. PH=√(15²−9²)=12 см; 18 см невозможно, так как перпендикуляр не длиннее наклонной.
7. Для PX=5 м: HX=4 м. Для PX=3 м: HX=0, значит X=H; вторая линия уже не наклонная.

Решение задачи с двумя наклонными

Для PH=4 см, HX=3 см, HY=12 см получаем PX=√(16+9)=5 см; PY=√(16+144)=4√10 см. Поэтому PY−PX=4√10−5 см, что положительно. Принципиально важно не вычитать HX из HY: разница проекций 9 см не равна разнице наклонных.

Как перевести условие в чертёж

Поместите H в плоскость α. Из точки P опустите прямой отрезок PH. Выберите X в α и соедините P с X. Треугольник PHX прямоугольный по построению, потому что PH перпендикулярен любой прямой плоскости, проходящей через H, включая HX. Гипотенуза PX всегда расположена напротив прямого угла H. Перепутать её с PH — значит поменять сторону на катет и получить отрицательное выражение под квадратным корнем.

Условие «от точки до плоскости 12 см» означает PH=12 см, а не расстояние до какой-то произвольной точки X плоскости. Если задана длина наклонной 20 см, её проекция HX вычисляется как √(400−144)=16 см. Если дано расстояние от H до X, наоборот используйте сумму квадратов. Эти два режима вычислений нужно различать до подстановки чисел.

Проверка каждого типа данных

В уровне А первые четыре задачи требуют вычислить гипотенузу: PX=√(PH²+HX²). В следующих двух известны перпендикуляр и наклонная, так что вычисляется HX. В последних двух требуется длина перпендикуляра. Это не просто три перестановки букв: каждое вычисление нужно завершить проверкой того, какая сторона самая длинная.

В уровне Б задачи 1 и 2 сравнивают наклонные из одной точки P. При одинаковом PH величины PX² различаются только квадратом HX, поэтому порядок длин наклонных совпадает с порядком длин их проекций. Если расстояния HX₁ и HX₂ известны не в тех же единицах, что PH, сначала обязательно приведите их к общему масштабу.

В уровне Б, задание 3, длины обеих наклонных и проекций не обязаны быть целыми: HX₁=20√2 см, PX₂=2√601 см. Отсутствие целого ответа не является признаком ошибки. Приближённое значение можно дать в конце, но точный вид обязателен для корректной проверки. В задаче 4 отношение 25/7 безразмерно, хотя обе исходные длины измеряются в метрах.

Почему перпендикуляр действительно короче наклонной

В формуле PX²=PH²+HX² величина HX² положительна, когда X≠H. Следовательно PX²>PH², а из положительности длин следует PX>PH. Равенство могло бы возникнуть лишь при HX=0. Отсюда строго доказывается свойство кратчайшего расстояния: ближайшая к P точка плоскости — H. Доказательство не зависит от конкретной формы плоскости или размера фигуры.

Точно так же, при двух проекциях HX и HY, если HX<HY, то PH²+HX²<PH²+HY². После извлечения квадратных корней (из неотрицательных чисел) получится PX<PY. Удобно сравнивать именно квадраты длин: корни вычислять вовсе не требуется, если задача просит только указать более длинную наклонную.

Разбор прикладных ситуаций

Оттяжка антенны (уровень В, №1) образует гипотенузу треугольника со сторонами 2,4 м и 3,2 м. По теореме Пифагора получается ровно 4 м. На практике для крепления может потребоваться запас троса, но из условия следует только геометрическая минимальная длина между точками крепления; самостоятельно вводить запас нельзя.

У лестницы (уровень В, №3) роль плоскости выполняет пол, а отрезок от высоты 20 м до основания стены — перпендикуляр к полу. Поэтому горизонтальная проекция лестницы составляет 15 м. Если неверно считать высоту гипотенузой, получится бессмысленная отрицательная разность квадратов. Чертёж с прямым углом предотвращает этот тип ошибки.

В уровне В, №5, из первоначальной наклонной 39 см и высоты 15 см следует HX=36 см. Увеличение проекции вдвое даёт HX=72 см, но новая наклонная НЕ обязана увеличиться вдвое. Новая длина √5409 см — хороший пример того, почему нельзя применять линейную пропорцию к сторонам прямоугольного треугольника при постоянной высоте.

Проверка значения в уровне В, №7: при PH=3 м и PX=3 м горизонтальная проекция 0 м, то есть её конец X совпал с H. Называть PH наклонной в этот момент уже неверно. Такое уточнение помогает различать предельный случай формулы и реальную наклонную. Длина отрезка всегда неотрицательна, а ОДЗ квадратного корня требует PX²−PH²≥0.

Советы к самопроверке без калькулятора

Для целочисленных задач ищите известные тройки катетов и гипотенузы, но не угадывайте ответ. Например, 9²+40²=81+1600=1681=41², а 20²+48²=400+2304=2704=52². Точные квадраты удобно складывать в столбик. Если ответ получился как √601 см, не превращайте его в 601 см: корень нельзя просто опустить.

В каждой задаче полезно проговорить единицы результата. При измерениях в дециметрах ответ будет в дециметрах, а не в квадратных дециметрах: квадратные единицы появляются на промежуточном этапе при возведении длин в квадрат, после извлечения корня возвращаются обычные единицы длины.

Контроль ответов

Подставьте вычисленные величины в равенство PX²−HX²=PH². Проверяйте положительность длины, а также тип отрезка: для настоящей наклонной PX>PH. Рекомендуемая оценка: уровень А по 1 баллу, Б по 2, В по 3 (45 баллов). В задачах с одинаковыми буквами PH, PX, HX обозначают длины реальных отрезков, отрицательный корень не принимается.