Теорема о трёх перпендикулярах в задачах на куб — проверочная работа, 10 класс

Практический кейс: каркас в форме куба

Модель: куб ABCD A₁B₁C₁D₁. Пол мастерской — плоскость квадрата ABCD, верхние точки A₁, B₁, C₁, D₁ находятся над одноимёнными нижними. Наклонную рейку проведём от верхней вершины к другой нижней. Для вертикального ребра, например AA₁, проекция наклонной A₁B на пол — AB.

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая плоскости, проходящая через основание наклонной и перпендикулярная её ортогональной проекции, перпендикулярна самой наклонной. Обратное утверждение тоже верно. Не путайте эту теорему с признаком перпендикулярности прямой к плоскости: здесь исследуется конкретная прямая в плоскости.

Исходная таблица креплений

Уже готовая таблица — опора для проверки, но не замена доказательству. Например, при A₁B проекция AB, а BC перпендикулярна AB по свойству квадрата. Следовательно BC ⟂ A₁B. Неизвестная длина стороны куба не влияет на прямой угол.

Математическая модель

Обозначим сторону куба a (a>0). Длина диагональной рейки между A₁ и B равна a√2, ведь треугольник AA₁B прямоугольный, AA₁=AB=a. При этом BC=a, AB=a и BC ⟂ AB; из теоремы следует BC ⟂ A₁B. Проверка координатами: BA₁=(−a;0;a), BC=(0;a;0). Их скалярное произведение равно нулю.

14 связанных заданий для проверочной

Задания 1–8 — работа с положением прямых; 9–14 — вычисления, обратная теорема и границы применения. Ответы приведены после всей работы, чтобы лист можно было выдать ученику отдельно.

1. Куб со стороной 4 см. Для наклонной A₁B назовите проекцию и ребро основания, перпендикулярное наклонной в B.
2. Куб со стороной 6 см. Для наклонной A₁D назовите перпендикулярную ей прямую в основании через D.
3. Для B₁A найдите её проекцию на основание и линию через A, перпендикулярную наклонной.
4. Для B₁C укажите проекцию и перпендикуляр через C.
5. Для C₁B выберите ребро основания, перпендикулярное наклонной через B.
6. Для C₁D найдите перпендикуляр через D.
7. Для D₁A назовите прямую основания, перпендикулярную наклонной в A.
8. Для D₁C укажите перпендикуляр через C.
9. Куб со стороной 8 см. Найдите A₁B и объясните, почему BC ⟂ A₁B без подсчёта угла.
10. Можно ли утверждать AB ⟂ A₁B, потому что AA₁ ⟂ AB?
11. Квадрат ABCD. Докажите, что BD перпендикулярна A₁C как скрещивающаяся прямая.
12. Точка M — середина AB. Какая прямая в основании через M перпендикулярна наклонной A₁M?
13. Если известно BC ⟂ A₁B, можно ли вывести BC ⟂ AB, используя обратную теорему?
14. Для куба со стороной 5 см сравните расстояния от B до A₁ и от B до A. Почему BC перпендикулярна обеим линиям?

Полные решения

1. Проекция AB, ребро BC; BC ⟂ AB и поэтому BC ⟂ A₁B. Длина A₁B=4√2 см.
2. Проекция AD, прямая DC ⟂ AD; по теореме DC ⟂ A₁D. Длина наклонной 6√2 см.
3. Проекция BA; AD ⟂ BA, значит AD ⟂ B₁A.
4. Проекция BC; CD ⟂ BC, откуда CD ⟂ B₁C.
5. Проекция CB; BA ⟂ CB, следовательно BA ⟂ C₁B.
6. Проекция CD; DA ⟂ CD, следовательно DA ⟂ C₁D.
7. Проекция DA; AB ⟂ DA, значит AB ⟂ D₁A.
8. Проекция DC; CB ⟂ DC, значит CB ⟂ D₁C.
9. A₁B=8√2 см; проекция AB и BC ⟂ AB, поэтому BC ⟂ A₁B.
10. Нет. Проекция A₁B на основание — AB; AB не перпендикулярна сама себе. Угол между AB и BA₁ равен 45°.
11. Проекция A₁C — AC; диагонали BD и AC в квадрате перпендикулярны. Проведём через C прямую CE ∥ BD; CE ⟂ AC и по теореме CE ⟂ A₁C. Следовательно угол между BD и A₁C равен 90°.
12. Проекция AM лежит на AB. Любая прямая в основании через M, параллельная AD, перпендикулярна AM, а значит по теореме перпендикулярна A₁M.
13. Да: A₁B — наклонная к основанию с проекцией AB; BC лежит в основании и проходит через B. По обратной теореме BC ⟂ AB.
14. BA₁=5√2 см, BA=5 см. BC ⟂ BA по свойству квадрата и BC ⟂ BA₁ по теореме трёх перпендикуляров. Длины различны, угол 90° верен для обеих.

Особенно трудные пункты

№10: если одну прямую считать перпендикулярной основанию, это не делает её произвольную наклонную перпендикулярной всему основанию. Для AB и A₁B горизонтальная проекция A₁B совпадает с AB, поэтому оснований для прямого угла нет; в прямоугольном равнобедренном треугольнике ABA₁ угол при B равен 45°.

№11: диагональ BD не проходит через C, основание наклонной A₁C. Поэтому обычная формулировка теоремы сначала применяется к прямой CE через C, параллельной BD. После этого можно перейти от CE к BD по определению угла между прямыми. В квадрате диагонали BD и AC перпендикулярны, но в произвольном ромбе или параллелограмме это свойство нельзя принимать без проверки.

Распознаём геометрию ещё до вычисления

В кубе плоскость пола — ABCD. Наклонная A₁B начинается над точкой A и заканчивается в точке B пола. Поэтому проекция в точности AB, а не A₁A или BC. После определения проекции вопрос превращается в плоский: какое ребро основания через B перпендикулярно AB? Это BC. Только затем используется теорема трёх перпендикуляров.

То же рассуждение в обратную сторону: если в пространстве известно, что BC ⟂ A₁B, и BC проходит через основание B наклонной, то обратная теорема позволяет заключить BC ⟂ AB. Без указания B и AB ссылка на обратную теорему будет неполной. Отдельное упоминание положения прямой в плоскости обязательно: пространственная прямая, не лежащая в основании, не является допустимым объектом этой формулировки.

Проверка на модели рейки и пола

Представим металлический каркас куба с ребром a=3 м. Отрезок A₁B имеет длину 3√2 м, его горизонтальная проекция AB — 3 м, а BC также 3 м. Несмотря на различие длин, угол между BC и A₁B равен 90°, потому что угол между BC и проекцией AB прямой. Для подобной задачи не нужно измерять пространственный угол транспортиром: при мысленном повороте модели он может выглядеть острым на бумаге.

Если продолжить ребро BC в плоскости пола, его направление останется прежним. При замене a=3 м на a=9 м длина наклонной A₁B изменится с 3√2 м на 9√2 м, но перпендикулярность останется. Таким образом в задачах этой карточки используются две независимые идеи: расчёт длины по теореме Пифагора и доказательство прямого угла по теореме о трёх перпендикулярах.

Доказательство с проекцией на диагональ

Для A₁C точка A₁ проецируется на A, точка C — на C. Следовательно проекция наклонной — AC. В квадрате ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны, но BD проходит через центр квадрата, а не через основание C наклонной. Поэтому проведите через C прямую, параллельную BD; она перпендикулярна AC. По теореме она перпендикулярна A₁C. Получив прямой угол между её направлением и A₁C, переносим результат обратно к BD.

Контроль координатами при a>0: A₁(0;0;a), C(a;a;0), B(a;0;0), D(0;a;0). Вектор A₁C=(a;a;−a), вектор BD=(−a;a;0); их скалярное произведение равно −a²+a²+0=0. Эта проверка согласуется с геометрическим доказательством и показывает, что угол 90° возникает из симметрии квадрата, а не из случайного размера ребра.

На что обратить внимание перед сдачей

Убедитесь, что в названии проекции не осталось верхнего индекса ₁, если оба её конца должны лежать в основании. Укажите точку основания наклонной, через которую должна идти перпендикулярная прямая. Если требуется угол между скрещивающимися прямыми (как в задаче с BD), допустим перенос параллельной прямой, но он должен быть явно обоснован. Не подменяйте теорему предположением о внешнем виде рисунка.

Критерии и единицы

Оценивание: 1–8 по 2 балла (назвать проекцию + вывод), 9–14 по 3 балла (модель + доказательство или расчёт + единицы), максимум 34 балла. Длины a, a√2 и длины рёбер выражаются в одинаковых единицах; углы даются в градусах. В логических вопросах недостаточно слова «да»: обязательно укажите перпендикуляр к проекции и основание наклонной.