Высота пирамиды по известному объёму и основанию для 11 класса — упражнения с разбором
Содержание статьи7 разделов
Мини-тест: что требуется знать
Пирамидой здесь называется невырожденная пирамида с ненулевой площадью основания. Площадь основания обозначим Sосн, перпендикулярную высоту пирамиды — h, объём — V. Формула: V=Sосн·h/3. Значит h=3V/Sосн. Боковое ребро и апофема не заменяют перпендикулярную высоту.
Три вопроса до вычислений
- Какова размерность h, если V выражен в см³, а Sосн — в см²?
- Что нужно найти сначала, если даны стороны треугольного основания и объём?
- Допустимо ли подставлять Sосн=0 в формулу h=3V/Sосн?
Быстрый ключ: 1) сантиметры; 2) площадь основания треугольника; 3) нет, деление на нуль не определено, а основание невырожденной пирамиды имеет положительную площадь.
Основная проверочная: 16 заданий
Решайте в указанном порядке либо выберите одну группу для самостоятельной работы. В заданиях 1–6 площадь основания уже дана; в заданиях 7–10 её придётся вычислить; в заданиях 11–16 особое внимание уделите единицам и смыслу результата.
- Основание имеет площадь 18 см², объём 96 см³. Найдите высоту.
- Sосн=32 дм², V=240 дм³. Найдите h.
- Sосн=45 м², V=135 м³. Найдите h.
- Sосн=7,5 см², V=50 см³. Найдите h.
- Sосн=64 см², V=160 см³. Найдите h.
- Sосн=12 см², V=48 см³. Найдите h.
- Основание — треугольник со стороной 8 см и высотой к ней 9 см; V=144 см³. Найдите высоту пирамиды.
- Основание — прямоугольник 7×11 дм, V=231 дм³. Найдите высоту.
- Основание — квадрат со стороной 6 см, V=84 см³. Найдите высоту.
- Основание — трапеция с основаниями 6 см и 10 см, её высота 5 см; V пирамиды 160 см³. Найдите высоту пирамиды.
- Sосн=20 см², V=0,12 л. Найдите h в сантиметрах.
- Sосн=0,08 м², V=16 000 см³. Найдите h в метрах.
- Ученица написала h=V/(3Sосн). Найдите и исправьте ошибку.
- Можно ли построить невырожденную пирамиду с Sосн=25 см² и V=0?
- При Sосн=54 м², h=14 м найдите V для обратной проверки.
- Sосн=24 дм², V=288 дм³. Выберите: h=4 дм, 12 дм или 36 дм; обоснуйте.
Лист ответов и пояснений
| № | Результат и проверка |
|---|---|
| 1 | h=3·96/18=16 см. Объём кубический, площадь квадратная: получаем сантиметры. |
| 2 | h=720/32=22,5 дм. |
| 3 | h=405/45=9 м. |
| 4 | h=150/7,5=20 см. |
| 5 | h=480/64=7,5 см. |
| 6 | h=144/12=12 см. |
| 7 | Sосн=8·9/2=36 см²; h=3·144/36=12 см. |
| 8 | Sосн=77 дм²; h=3·231/77=9 дм. |
| 9 | Sосн=36 см²; h=3·84/36=7 см. |
| 10 | Sосн=(6+10)·5/2=40 см²; высота пирамиды h=3·160/40=12 см. Не путайте две разные высоты. |
| 11 | 0,12 л = 120 см³; h=3·120/20=18 см. |
| 12 | V=0,016 м³, поэтому h=3·0,016/0,08=0,6 м. |
| 13 | Правильно: V=Sосн·h/3, откуда h=3V/Sосн. Делить V ещё на 3 нельзя. |
| 14 | Нет: для невырожденной пирамиды высота h>0 и объём V>0. При V=0 получаем h=0, тело вырождено. |
| 15 | V=54·14/3=252 м³; подставляя V обратно, получим h=3·252/54=14 м. |
| 16 | h=3·288/24=36 дм. Первое значение получилось бы без множителя 3. |
Четыре контрольных вопроса по результату
Высота не может получиться в см² или м³; переводите единицы ДО деления. Если известны только объём и боковое ребро без площади основания, высоту обычно нельзя найти однозначно. При фиксированном объёме и увеличении площади основания высота уменьшается: h обратно пропорциональна Sосн. Проверка готового ответа — подстановка найденной высоты в V=Sосн·h/3.
Подсчёт: за каждое верное вычисление — 1 балл, ещё 1 балл за объяснение единиц или логики (максимум 32). Диагностические три вопроса не входят в оценку. Для задач с невырожденной пирамидой должны выполняться Sосн>0 и V>0.
Как устроена обратная задача
В условии «объём и основание известны» нужно различать площадь основания и длины его сторон. Если дана сторона квадратного основания a, то сначала Sосн=a². Если даны основание b и высота треугольника к нему t, то Sосн=bt/2. Лишь после получения площади подставляйте V в формулу h=3V/Sосн. В заданиях про трапециевидное основание присутствуют две разные высоты: высота самой трапеции внутри основания и перпендикулярная высота пирамиды. Они не заменяют друг друга.
Проверка размерностей на одной задаче
Предположим, что измерения основания заданы в дециметрах, а объём в литрах. Например, Sосн=8 дм² и V=16 л. Поскольку 1 л=1 дм³, подстановка даёт h=3·16/8=6 дм. Если вместо литров использовать 16 000 см³, сначала переведите объём в дм³. Совпадение двух способов подтверждает правильный перевод единиц.
Для учителя полезна устная проверка ответа: если оставить площадь основания неизменной, а объём увеличить вдвое, высота также должна возрасти вдвое. Если объём тот же, а площадь основания станет втрое больше, высота уменьшится втрое. Это прямые следствия формулы h=3V/Sосн, а не дополнительные предположения о правильности пирамиды. Форма основания может быть любым многоугольником, у которого возможно вычислить площадь.
Не путайте условие и вывод: положительные V и Sосн гарантируют положительное число h, но не определяют все боковые рёбра и углы пирамиды. Поэтому ответом в этих упражнениях является только перпендикулярная высота. Число, полученное по формуле, должно выдержать обратную проверку объёмом, иначе необходимо повторить вычисление.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.