Расчёт объёма жидкости после погружения твёрдого тела — проверочная работа, 11 класс

Исследуем: почему уровень растёт, хотя воды не становится больше

В этой работе различайте три величины: объём самой жидкости, объём погружённой части тела и общий объём, занятый содержимым сосуда. Твёрдое тело вытесняет жидкость из занимаемой им области. Если вода не выливается, её количество и объём практически сохраняются; растёт высота уровня. При переливе часть воды уходит, поэтому объём оставшейся воды уменьшается.

Наблюдение и гипотеза

Возьмём прозрачный сосуд постоянного поперечного сечения S=100 см². Когда в нём 500 см³ воды, уровень равен 5 см. Поместим полностью погружённый непористый предмет объёмом 200 см³. Если сосуд достаточно вместителен и вода не перелилась, общий занятый объём равен 700 см³, а уровень — 7 см. Воды осталось именно 500 см³.

Гипотеза: при полном погружении непроницаемого тела без перелива подъём уровня Δh=Vтела/S. Если погружена лишь часть тела, берём только объём погружённой части. Для меняющегося по высоте сечения такая простая формула недопустима: нужно считать разность объёмов до и после.

Три разобранных случая

1. Сосуд на 2 л содержит 1,2 л воды; погружено тело 0,2 л. Без перелива воды остаётся 1,2 л, а занятый объём становится 1,4 л.
2. В прямоугольном аквариуме площадь дна 400 см², уровень увеличился на 1,5 см. Вытеснено 400·1,5=600 см³. При полном погружении это объём предмета.
3. Ёмкость 1 л, начальный объём жидкости 0,8 л, полностью погрузили тело 0,35 л. Свободно было 0,2 л; перелилось 0,15 л, осталось 0,65 л воды. Общая занятость: 0,65+0,35=1 л.

Самостоятельный эксперимент на бумаге — 15 заданий

Для каждой ситуации сначала запишите, есть ли перелив. Затем отдельно укажите объём воды, вытесненный объём и, если возможно, высоту уровня. Предполагаем жёсткие непроницаемые тела, несжимаемую жидкость и горизонтальное дно; во всех задачах указаны необходимые данные.

1. Открытый сосуд вмещает 6 л. В нём 3 л воды. Полностью опустили камень объёмом 0,5 л, ничего не перелилось. Сколько воды осталось?
2. Бак с площадью горизонтального сечения 300 см² содержит воду до уровня 10 см. Полностью погрузили брусок объёмом 600 см³, перелива нет. Какова новая высота уровня?
3. В цилиндрическом сосуде с площадью дна 80 см² вода стоит на высоте 8 см. Погружено тело объёмом 160 см³, перелива нет. Уровень?
4. Дно прямоугольного бака 25×20 см, уровень воды 6 см. Тело вытеснило 250 см³. Каков уровень?
5. В сосуде постоянного сечения 150 см² после полного погружения предмета уровень вырос на 1,2 см. Найдите объём его погружённой части.
6. Ёмкость 3600 см³, до погружения было 3000 см³ воды. Полностью погружён предмет объёмом 800 см³. Сколько воды выльется и сколько останется?
7. Ёмкость 3 л, в ней 2,7 л воды; предмет объёмом 0,4 л погрузили целиком. Найдите перелив и остаток воды.
8. Площадь дна 120 см², изначальный уровень 5 см. Погружённый предмет вытесняет 300 см³. Найдите уровень, если бак достаточно высок.
9. В сосуде было 0,75 л воды; опустили куб объёмом 125 см³, без перелива. Сколько воды стало в см³?
10. Площадь дна бака 40×25 см, вода на высоте 15 см, полное погружение тела объёмом 2000 см³. Каким станет уровень, если высота бака 20 см?
11. Уровень поднялся с 6,5 до 9 см в сосуде с сечением 60 см². Найдите объём погружённой части предмета.
12. Плавающий предмет объёмом 400 см³ погружён только на 240 см³. Сечение сосуда 200 см². Насколько вырос уровень?
13. В сосуде с площадью дна 175 см² плавает тело объёмом 500 см³, причём 30% его объёма находится над водой. Найдите увеличение уровня.
14. Тело полностью погружено в сосуд с сечением 144π см² и вызывает подъём уровня на 0,25 см. Найдите объём тела.
15. Сосуд вместимостью 5 л содержит 4,6 л воды. Полностью погружают тело объёмом 0,3 л. Произойдёт ли перелив?

Проверка результатов по шагам

1. 3 л. Камень занял место в сосуде, но объём самой воды не изменился.
2. Воды 3000 см³; занято вместе с бруском 3600 см³. Уровень 3600/300=12 см. Самой воды 3000 см³.
3. До погружения 80·8=640 см³ воды; после уровень (640+160)/80=10 см. Объём воды прежний.
4. Площадь дна 500 см²; вода занимает 3000 см³; уровень (3000+250)/500=6,5 см.
5. Vвытесн=150·1,2=180 см³. Если предмет погружён целиком, это весь объём предмета.
6. Свободно 600 см³; выльется 800−600=200 см³. Останется 3000−200=2800 см³ воды.
7. Свободно 0,3 л. Выльется 0,1 л; останется 2,6 л воды. При этом 2,6+0,4=3 л.
8. Начальный объём воды 600 см³; суммарный занятый объём 900 см³; уровень 900/120=7,5 см.
9. 0,75 л=750 см³ воды. При погружении без перелива её объём остаётся 750 см³, не 875 см³.
10. S=1000 см², вода 15 000 см³; новый уровень (15 000+2000)/1000=17 см<20 см. Перелива нет.
11. Рост 2,5 см; V=60·2,5=150 см³. Это вытесненный объём, а не прирост объёма воды.
12. На 240/200=1,2 см. Вытесняется лишь погружённая часть, а не все 400 см³.
13. Под водой 70%·500=350 см³. Рост уровня 350/175=2 см. Предполагается неизменное сечение и отсутствие перелива.
14. V=144π·0,25=36π см³. Значение площади сечения уже дано в см².
15. Нет: свободны 0,4 л, а тело занимает 0,3 л. Воды останется 4,6 л; общий занятый объём станет 4,9 л.

Что делать, если модель не подходит

Полный объём плавающего тела не равен объёму вытесненной воды; нужен объём погружённой части. Если сосуд наклонный, сужается или расширяется, площадь горизонтального сечения меняется. Если тело впитывает воду, растворяется или из него выходит воздух, закон сохранения объёма простых несжимаемых компонентов нельзя применять без дополнительных условий.

Учителю: оценивайте отдельно определение величины (вода или вытеснённый объём) и вычисление. В ответе про перелив недостаточно назвать только повышение уровня — обязательны объём вылившейся и оставшейся воды. Проверка единиц: 1 л = 1000 см³, 1 дм³ = 1 л; площадь в см², объём в см³, высота в см.

Откуда берётся формула подъёма уровня

Пусть бак — прямая призма с горизонтальным постоянным сечением S. До погружения высота уровня равна h₁, а объём жидкости Vж=S·h₁. Полностью погружённое тело объёма Vт занимает часть пространства под уровнем. Если жидкость не перелилась, то общая занятая часть сосуда равна Vж+Vт, а высота h₂=(Vж+Vт)/S. Вычитаем начальную высоту и получаем Δh=Vт/S. В этой записи левая часть — изменение высоты, а вовсе не изменение объёма самой жидкости.

Если вода перелилась через край

Для неподвижной ёмкости с вместимостью C и первоначальным объёмом воды V₀, при полном погружении твёрдого тела объёма B, количество вылившейся воды равно max(0, V₀+B−C) при условии, что B≤C и тело можно разместить в сосуде. После перелива остаётся V₀−max(0, V₀+B−C) воды. Здесь мы предполагаем, что не пролили воду при переносе, не добавляли её и не погружали тело, размеры которого не позволяют ему войти в ёмкость.

Например, в сосуд вместимостью 2,5 л налито 2,2 л жидкости. Полностью опускают гладкое твёрдое тело объёмом 0,45 л. До края было 0,3 л свободного места, поэтому выльется 0,15 л, а останется 2,05 л жидкости. Проверка заполнения: 2,05+0,45=2,5 л. Если ответ для оставшейся жидкости больше первоначальных 2,2 л, в модели без добавления воды допущена ошибка.

Как оформить лабораторный протокол без реального опыта

Ученик может записать четыре колонки: «вода до погружения», «объём погружённого тела», «перелив», «вода после погружения». После расчёта полезно проверить две вещи. Во-первых, объём жидкости не увеличился. Во-вторых, сумма объёмов оставшейся жидкости и погружённого тела не превышает вместимости сосуда. Если тело выступает над водой или плавает, для уровня учитывают только объём его погружённой части, а условие о вместимости относится к занимаемому под водой пространству.

Погрешности реального измерения могут появиться из-за мениска, пузырьков воздуха, неровного дна и изменения температуры. В школьной математической модели этими явлениями пренебрегают, если условие не говорит обратного. Поэтому задача с плоским дном и постоянным сечением имеет однозначное числовое решение, а вопрос про произвольную форму сосуда без дополнительных размеров обычно не имеет однозначного ответа.