Площадь боковой поверхности цилиндра по развёртке — задания на закрепление, 11 класс
Содержание статьи12 разделов
Одна идея: бок цилиндра превращается в прямоугольник
У прямого кругового цилиндра боковая поверхность при развёртывании образует прямоугольник. Одна сторона равна длине окружности основания L=2πr=πd, другая — высоте h. Поэтому Sбок=Lh=2πrh. Круги-основания не входят в боковую площадь. Размерность результата — квадратные единицы.
Памятка перед работой
Удобно обозначать ширину развёртки буквой L: это не радиус, не диаметр и не площадь. Если дана длина окружности, повторно умножать её на π нельзя. При переходе из сантиметров в метры сначала переведите линейные размеры, затем вычислите площадь.
Серия А. По уже известному прямоугольнику — задания 1–8
- Развёртка — прямоугольник шириной 6π см и высотой 9 см. Найдите боковую площадь.
- Ширина 14π дм, высота 3 дм.
- Ширина 10π см, высота 12 см.
- Ширина 16π м, высота 5 м.
- Ширина 9π см, высота 4 см.
- Ширина 4π дм, высота 7,5 дм.
- Ширина 3π м, высота 1,2 м.
- Ширина 18π см, высота 2 см.
Серия Б. От круга к прямоугольнику — задания 9–16
В каждом случае запишите две стороны развёртки и её площадь; не добавляйте диски оснований.
- Радиус 2 см, высота 7 см. Определите площадь прямоугольной развёртки.
- Радиус 3 дм, высота 11 дм.
- Радиус 5 см, высота 8 см.
- Радиус 1,5 м, высота 12 м.
- Диаметр 10 см, высота 6 см.
- Диаметр 14 дм, высота 9 дм.
- Радиус 0,4 м, высота 3 м.
- Радиус 25 см, высота 0,8 м. Ответ в м².
Серия В. Обратные задачи и полезные применения — задания 17–24
В части заданий требуется найти не площадь, а недостающий размер. Указанный процентный запас означает закупку материала, а не геометрическую площадь без припуска.
- Боковая площадь 96π см², радиус 6 см. Найдите высоту цилиндра.
- Боковая площадь 72π дм², высота 9 дм. Найдите радиус.
- Прямоугольная развёртка имеет длину окружности 18π см и высоту 7 см. Сколько см² листа нужно без шва?
- Известно, что длина окружности основания равна 30π см, высота 2 см. Найдите боковую площадь.
- Для цилиндра с r=4 см и h=10 см добавляют 10% площади на клеевой шов. Сколько материала требуется для боковой поверхности?
- Боковая площадь 24π см², радиус 3 см. Найдите высоту.
- Боковая площадь 150π м², высота 15 м. Найдите радиус.
- Этикетка закрывает бок цилиндра высотой 1,2 м с длиной окружности 2 м. Сколько м² бумаги без припуска?
Ответы — в порядке номеров
| № | Решение |
|---|---|
| 1 | 6π·9=54π см². |
| 2 | Sбок=42π дм². |
| 3 | Sбок=120π см². |
| 4 | Sбок=80π м². |
| 5 | Sбок=36π см². |
| 6 | Sбок=30π дм². |
| 7 | Sбок=3,6π м². |
| 8 | Sбок=36π см². |
| 9 | Sбок=2π·2·7=28π см². |
| 10 | Sбок=66π дм². |
| 11 | Sбок=80π см². |
| 12 | Sбок=36π м². |
| 13 | Ширина развёртки равна πd=10π см; площадь 60π см². |
| 14 | Sбок=π·14·9=126π дм². |
| 15 | Sбок=2·0,4·3π=2,4π м². |
| 16 | 25 см=0,25 м; Sбок=2π·0,25·0,8=0,4π м². |
| 17 | h=96π/(2π·6)=8 см. |
| 18 | r=72π/(2π·9)=4 дм. |
| 19 | 18π·7=126π см² без припусков. |
| 20 | Sбок=30π·2=60π см². |
| 21 | База 80π см²; с запасом 80π·1,10=88π см². Это не площадь самого цилиндра. |
| 22 | h=24π/(6π)=4 см. |
| 23 | r=150π/(30π)=5 м. |
| 24 | Площадь прямоугольника 2·1,2=2,4 м². |
Обратная самопроверка
Чтобы проверить боковую площадь цилиндра, разделите ответ на высоту — получится длина окружности основания. Затем разделите её на 2π и получите радиус. Например, для задания 11: 80π см² / 8 см = 10π см; это окружность радиуса 5 см.
Одна из типичных ошибок: Sбок=πr²h. Произведение πr²h — объём цилиндра в кубических единицах, не площадь. Другой неверный ход — прибавить 2πr²: получится полная поверхность, а в этой серии нужна только развёртка боковой части. Уточнение: формула прямоугольной развёртки относится к прямому круговому цилиндру.
Почему стороны развёртки не равноправны
У бумажного прямоугольника, которым оборачивают цилиндр, длина в направлении обхода совпадает с окружностью основания. Вторая сторона идёт вдоль оси цилиндра и равна его высоте. Если на рисунке они подписаны наоборот, сама площадь произведения не изменится, но при восстановлении радиуса нужно точно знать, какая сторона является длиной окружности. Без этой информации один и тот же прямоугольник может соответствовать двум разным цилиндрам.
Работа с точными и приближёнными значениями
Оставлять множитель π в ответе полезно для точности. Например, результат 36π см² точен; приближённо он равен 113,10 см² при π≈3,1416. Если учитель просит округлить до десятых, сначала найдите точный коэффициент перед π и лишь в конце умножьте на принятое значение π. Подставлять π=3 слишком рано опасно: ошибка появляется во всех последующих вычислениях.
При восстановлении высоты из площади надо делить на длину окружности, а не на площадь основания: h=Sбок/(2πr). Например, если Sбок=40π см² и r=2,5 см, то h=40π/(5π)=8 см. При восстановлении радиуса из высоты действует r=Sбок/(2πh). В обоих формулах положительные размеры и согласованные единицы являются обязательными условиями.
Отличайте геометрическую площадь от расхода материала
Для боковой поверхности без швов требуется прямоугольник площади 2πrh. При раскрое бумаги или металла добавляют перекрытие, швы и иногда технологические отходы. Эти добавки не являются частью площади поверхности цилиндра: они вводятся отдельным условием. Например, запас 10% означает умножение вычисленной площади материала на 1,10; нельзя просто добавить 10 см², если исходная площадь измерялась десятками квадратных сантиметров.
Проверка с единицами: при r=0,3 м и h=50 см сперва запишите h=0,5 м. Тогда Sбок=2π·0,3·0,5=0,3π м². Если считаете в сантиметрах, то r=30 см, h=50 см, Sбок=3000π см², а после перевода в м² снова получается 0,3π м². Это хороший способ самостоятельно выявить ошибку в коэффициенте перевода площади (1 м²=10 000 см²).
Проверка по макету без настоящего цилиндра
Чтобы увидеть формулу, возьмите воображаемую полосу бумаги высотой 6 см и шириной 12π см. Если соединить её короткие вертикальные стороны без нахлёста, получится боковая поверхность цилиндра с длиной окружности 12π см, радиусом 6 см и высотой 6 см. Площадь бумаги 72π см². Если ту же полосу обернуть вокруг более тонкого цилиндра, она перекроет себя: тогда её геометрическая площадь не станет площадью боковой поверхности нового цилиндра без дополнительных допущений.
Как понять, что задача решена полностью
Если в условии дана площадь развёртки и радиус, не стоит останавливаться на уравнении 2πrh=S. Нужно найти требуемую высоту, подставить её в исходную формулу и проверить единицы. Если дана ширина прямоугольника и спрашивается радиус, воспользуйтесь L=2πr. Для ширины 22π см радиус равен 11 см, тогда площадь боковой части при высоте 3 см равна 66π см². Развёртка при этом остаётся прямоугольной, что отличает её от боковой развёртки конуса.
Признак неправильно выбранной формулы: если после расчёта боковой площади появляются кубические единицы, вероятно, вычислили объём πr²h. Если к ответу прибавлены площади двух кругов, вычислена полная поверхность закрытого цилиндра. Если забыта высота, получилась только длина окружности. Такой контроль особенно полезен, когда в одной самостоятельной работе встречаются разные геометрические задачи.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.