Площадь полной поверхности цилиндра с двумя основаниями — рабочий лист для 11 класса

Закрытый цилиндр: сколько поверхности нужно учесть?

В отличие от боковой поверхности, полная поверхность закрытого прямого кругового цилиндра состоит из развёртки прямоугольника и двух кругов-оснований. Формула Sпол=2πrh+2πr²=2πr(h+r). Для цилиндра без крышки или с открытым дном это была бы другая задача.

Вступительная задача — банки для хранения

Закрытая цилиндрическая банка имеет r=3 см и h=10 см. Первый метод: боковая площадь 2π·3·10=60π см² плюс два основания по 9π см²; всего 78π см². Второй метод: 2π·3·(10+3)=78π см². Методы совпадают; оба предполагают отсутствие технологических припусков и толщину стенки не учитывают.

Сравните два способа

Практика — 18 заданий

Рабочие поля: r=________ ; h=________ ; Sбок=________ ; Sдвух оснований=________ ; Sпол=________ . Выбирайте единицы до расчёта. В заданиях 16–17 найдите высоту обратным ходом.

1. r=2 см, h=9 см.
2. r=3 дм, h=7 дм.
3. r=4 см, h=6 см.
4. r=5 м, h=5 м.
5. r=1 см, h=12 см.
6. r=6 см, h=4 см.
7. r=7 дм, h=3 дм.
8. r=8 см, h=2 см.
9. Диаметр 10 см, h=8 см.
10. Диаметр 12 дм, h=7 дм.
11. Диаметр 16 см, h=5 см.
12. r=0,5 м, h=2 м.
13. r=25 см, h=0,75 м. Ответ в м².
14. Боковая площадь 48π см², площадь каждого основания 9π см². Чему равна полная поверхность?
15. Боковая площадь 80π м², площадь одного основания 16π м².
16. Полная поверхность 100π см², r=5 см. Найдите h.
17. Полная поверхность 54π дм², r=3 дм. Найдите h.
18. Закрытый цилиндр r=2 см, h=4 см. Сколько площади приходится на основания? Какова общая?

Ответы с обязательным включением двух кругов

1. 2π·2·(9+2)=44π см².
2. 2π·3·(7+3)=60π дм².
3. 2π·4·(6+4)=80π см².
4. 2π·5·(5+5)=100π м².
5. 2π·1·(12+1)=26π см².
6. 2π·6·(4+6)=120π см².
7. 2π·7·(3+7)=140π дм².
8. 2π·8·(2+8)=160π см².
9. r=5 см; Sпол=2π·5·(8+5)=130π см².
10. r=6 дм; Sпол=2π·6·(7+6)=156π дм².
11. r=8 см; Sпол=2π·8·(5+8)=208π см².
12. Sпол=2π·0,5·(2+0,5)=2,5π м².
13. r=0,25 м; Sпол=2π·0,25·(0,75+0,25)=0,5π м².
14. 48π+2·9π=66π см²; оба круга обязательны.
15. 80π+2·16π=112π м².
16. 2π·5·(h+5)=100π; h+5=10; h=5 см.
17. 6π(h+3)=54π; h=6 дм.
18. Два основания дают 2π·4=8π см²; боковая площадь 16π см²; вместе 24π см².

Три ловушки и два метода их исправления

1. Ученик нашёл 2πrh и подписал «полная». Исправление: добавьте 2πr², так как у закрытого цилиндра два круга.
2. Ученик использовал диаметр d вместо радиуса r в πr². Исправление: r=d/2. Для дна диаметром 10 см площадь одного круга равна 25π см², а не 100π.
3. Ученик сложил площадь 0,25 м² и 75 см² напрямую. Исправление: переведите сначала единицы — 75 см²=0,0075 м². Нельзя смешивать единицы площади без перевода.

Критерий самопроверки для каждого вычисления: отдельный балл за преобразование размеров, один за боковую часть, один за два основания и один за итоговую площадь. Для обратных задач дополнительно проверяйте положительность высоты. Итоговый результат всегда записывается в квадратных единицах.

Пограничные случаи: как понять, что данные совместимы

Для закрытого цилиндра положительной высоты Sпол=2πr(h+r). Поэтому при заданном r значение Sпол обязано превышать 2πr² — суммарную площадь двух оснований. Если Sпол равно только 2πr², получилась бы высота h=0, то есть вырожденный цилиндр. Если Sпол меньше этого предела, реального цилиндра с данными параметрами не существует. Это особенно полезно при обратных задачах на высоту.

Три пошаговых проверки численных данных

1. Для r=4 см, h=9 см вычислим отдельно: Sбок=2π·4·9=72π см², Sосн=π·4²=16π см². Два основания дают 32π см², полная поверхность 104π см². По общей формуле: 2π·4·(9+4)=104π см² — совпадение.
2. Радиус цилиндра 10 см, высота 0,5 м. Приведём к метрам: r=0,1 м, h=0,5 м. Тогда Sпол=2π·0,1·(0,5+0,1)=0,12π м². Прямой расчёт в сантиметрах даёт 1200π см²; это также 0,12π м².
3. Дано Sпол=30π дм² и r=3 дм. Минимальная площадь двух оснований уже 18π дм², поэтому задача допустима. Получаем 6π(h+3)=30π, откуда h=2 дм. Проверим: боковая площадь 12π дм² и основания 18π дм², вместе 30π дм².

Что делать, когда цилиндр не полностью закрыт

В реальном заказе упаковки могут фигурировать открытый стакан, труба без крышек или закрытый контейнер. Это три разных поверхности. Если нет обоих оснований, площадь равна 2πrh. Если есть одно дно, но нет крышки, площадь 2πrh+πr². Если есть и дно, и крышка, получаем 2πrh+2πr². В упражнениях этого рабочего листа, если прямо не сказано иное, считаем оба основания; именно это смысл слова «полная».

Задача на объяснение без вычислений

Почему при фиксированном радиусе и увеличении высоты на 1 см полная поверхность закрытого цилиндра увеличивается ровно на 2πr см²? Основания не меняются: их площади зависят только от r. Боковой прямоугольник становится выше на 1 см при прежней ширине 2πr, поэтому прирост площади равен 2πr·1 см=2πr см². Если увеличить только радиус, меняются и боковая часть, и обе площади кругов — простой линейной пропорции уже нет.

Разбор неправильного порядка действий

Частая ошибка — запись 2πr·h+r². Здесь второе слагаемое не только потеряло множитель 2π, но и не соответствует площади двух кругов. Правильная проверяемая последовательность такова: сначала вычислить одну площадь круга πr²; затем удвоить; отдельно вычислить 2πrh; наконец сложить с соблюдением одинаковых единиц измерения. При работе с десятичными значениями π желательно оставлять символ до последнего действия.

Педагогическая подсказка: предложите ученику обвести боковую часть прямоугольником, а основания — двумя кругами и пересчитать каждый элемент ровно один раз. Когда он получает ответ, попросите назвать его единицу. Объём выражается в м³ или см³, площадь — в м² или см²; смешение размерностей сразу выдаёт неверное применение формулы.

Разбор двух похожих, но разных упаковок

Пусть цилиндрическая картонная коробка имеет радиус 4 см и высоту 12 см. Для боковой этикетки понадобится 2π·4·12=96π см² бумаги. Для закрытия обоих торцов необходимы два круга суммарной площади 2π·4²=32π см². Поэтому вся наружная поверхность закрытой коробки — 128π см². Если сделать такой же цилиндрический стакан без крышки, его площадь будет 96π+16π=112π см². Разница ровно в одном круге — 16π см², а не в высоте.

Почему формула учитывает две окружности, но два диска

Окружность — линия границы круга, у неё есть длина 2πr. Основание цилиндра — круг, у него есть площадь πr². Поэтому мы прибавляем площадь двух кругов, а не длины двух окружностей. Нельзя складывать величины см и см²: такая запись не имеет геометрического смысла. Сначала рассчитайте площадь бокового прямоугольника, затем площадь каждого плоского круга. В итоге все слагаемые имеют одинаковую размерность, что является дополнительной проверкой.

Масштаб и площадь: полезный мысленный эксперимент

Если радиус и высоту цилиндра увеличить втрое, его боковая площадь увеличится в 9 раз: 2π(3r)(3h)=9·2πrh. Площади двух оснований тоже увеличатся в 9 раз: 2π(3r)²=9·2πr². Следовательно, вся полная поверхность возрастёт в 9 раз, а не втрое. Это не зависит от исходных значений r и h. Такой тест позволяет выявить неправильную формулу, в которой ошибочно пропущен один линейный множитель.

Если же высоту увеличить вдвое, сохранив радиус, площади двух оснований останутся прежними. Удвоится лишь боковая часть. Полная поверхность увеличится, но не обязательно в два раза. Например, при r=3 см и h=4 см первоначальная площадь 2π·3·(4+3)=42π см², а после удвоения высоты до 8 см получим 2π·3·(8+3)=66π см², что меньше удвоенных 84π. Это полезная проверка разумности результата, не требующая заново расписывать все части поверхности.

В обратных заданиях полезно сразу выразить высоту: h=Sпол/(2πr)−r. Например, при r=2 дм и Sпол=56π дм² формула даёт h=56π/(4π)−2=12 дм. Проверка: боковая часть 2π·2·12=48π дм²; два основания 8π дм²; сумма 56π дм². Если таким способом получилась отрицательная высота, исходные параметры не задают настоящий закрытый цилиндр.