Сечение конуса плоскостью параллельной основанию: задачи и решения для 11 класса
Диагностическая карточка. Ось прямого кругового конуса перпендикулярна основанию; секущая плоскость параллельна основанию и пересекает внутренность конуса.
Содержание статьи4 раздела
Проверь стартовый навык
Укажите, какие величины пропорциональны при подобии осевых треугольников: расстояние от вершины до сечения, радиус сечения или площадь сечения? Ответ: первые две. Площадь зависит от квадрата масштаба.
Обозначения: H — полная высота конуса, R — радиус основания, x — расстояние от вершины до сечения вдоль оси, r — радиус окружности сечения. Тогда r/R = x/H при 0 ≤ x ≤ H. Площадь диска S = πr². В задачах о настоящем внутреннем сечении 0 < x < H.
Задания — от вычисления к объяснению
- Высота конуса 12 см, радиус основания 9 см. Плоскость проходит в 4 см от вершины вдоль оси. Найдите радиус круга сечения.
- Конус имеет H = 18 см и R = 12 см. Сечение отстоит от вершины на 9 см. Определите радиус.
- Высота конуса 15 см, R = 10 см. Плоскость находится на высоте 6 см от основания. Каков радиус сечения?
- При H = 20 см и R = 8 см расстояние от вершины до плоскости 5 см. Определите площадь сечения.
- Радиус основания 6 см. Плоскость отстоит от вершины на 2/3 высоты. Найдите площадь круга сечения.
- Конус: H = 16 см, R = 10 см; от вершины до плоскости 12 см. Найдите диаметр сечения.
- Один и тот же конус: сечения на расстоянии 6 и 12 см от вершины. Во сколько раз площадь второго больше первой?
- Площадь основания равна 81π см²; площадь параллельного сечения равна 9π см². Какую долю высоты составляет расстояние от вершины до сечения?
- При H = 24 см, R = 12 см радиус сечения равен 9 см. На каком расстоянии от основания расположена плоскость?
- Площадь круга сечения составляет 1/4 площади основания. Какова доля высоты от вершины до плоскости?
- Конус H = 14 см, R = 7 см. Определите радиус сечения, находящегося в 8 см от вершины.
- Можно ли называть невырожденным кругом сечение плоскостью, которая проходит через саму вершину и параллельна основанию? Объясните.
Таблица самопроверки
| № | Ответ с проверкой / объяснением |
|---|---|
| 1 | 3 см: подобие даёт r = 9 × 4/12 = 3; ответ в единицах длины. |
| 2 | 6 см: r = 12 × 9/18 = 6. |
| 3 | 6 см: расстояние от вершины 15 − 6 = 9 см, поэтому r = 10 × 9/15 = 6. |
| 4 | 4π см²: r = 8 × 5/20 = 2 см, S = π × 2² = 4π. |
| 5 | 16π см²: r = 6 × 2/3 = 4 см, S = 16π. |
| 6 | 15 см: r = 10 × 12/16 = 7,5 см; диаметр 2r = 15 см. |
| 7 | В 4 раза: радиусы относятся как 6:12 = 1:2, площади как 1:4 (при одинаковом конусе). |
| 8 | 1/3 высоты: отношение площадей 9/81 = 1/9, поэтому отношение радиусов и высот √(1/9) = 1/3. |
| 9 | 6 см от основания: 9/12 = x/24, x = 18 см от вершины, значит 24 − 18 = 6. |
| 10 | 1/2 высоты: Sсеч/Sосн = (x/H)² = 1/4, x/H = 1/2, так как x/H ≥ 0. |
| 11 | 4 см: r = 7 × 8/14 = 4. |
| 12 | Нет: при x = 0 радиус r = 0, сечение вырождается в одну точку (вершину). Для круга положительной площади нужно 0 < x < H. |
Три ошибки, которые портят ответ
- Путают расстояние от основания и от вершины. При обозначении d от основания сначала находят x = H − d.
- Считают, что площади меняются в k раз. Для подобной фигуры радиус меняется в k раз, а площадь — в k² раз.
- Называют площадью сечения площадь боковой поверхности усечённого конуса. Здесь речь только о плоском круге сечения: S = πr².
Самопроверка: в каждой числовой задаче о внутреннем сечении должно выполняться 0 < r < R. Если получилось r > R, проверьте ориентацию измерения.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.