Условная вероятность по таблице результатов обследования: пошаговые задания для 11 класса

Таблица ниже — полностью вымышленный учебный набор данных об обследовании на наличие условного признака. Результаты не предназначены для медицинских выводов. Задача посвящена выбору знаменателя в условной вероятности.

Данные: 150 участников

Как считать, если сказано «при условии»

P(A | B) = число объектов, удовлетворяющих A и B, / число объектов, удовлетворяющих B — при ненулевом числе объектов в группе B. После слов «из положительных» считайте только по столбцу положительных; после слов «с признаком» — только по соответствующей строке.

Пример 1 — положительный результат среди имеющих признак

Среди 45 участников с признаком положительный результат получили 36. Искомая доля 36/45 = 4/5. Мы не делим на 150: в условии группа уже ограничена.

Пример 2 — наличие признака среди положительных

Положительных результатов всего 36 + 24 = 60. Из них признак имеется у 36 человек, поэтому P(признак | положительный) = 36/60 = 3/5. Два условия похожи на слух, но ответы 4/5 и 3/5 различны.

Пример 3 — безусловная и совместная вероятность

Случайный участник положителен с вероятностью 60/150, а одновременно имеет признак и положителен с вероятностью 36/150. Условие «среди положительных» не указано, поэтому знаменатель — 150.

Задания с частичными подсказками

1. Какова вероятность положительного результата при случайном выборе одного участника из всех 150?
2. Какова вероятность наличия признака при условии положительного результата? Подсказка: найдите размер группы после слова «среди» или «при условии».
3. Какова вероятность положительного результата среди участников с признаком?
4. Какова вероятность наличия признака при условии отрицательного результата? Подсказка: найдите размер группы после слова «среди» или «при условии».
5. Какова вероятность отсутствия признака при условии отрицательного результата?
6. Какова вероятность отсутствия признака среди получивших положительный результат?
7. Какова вероятность отрицательного результата при условии наличия признака?
8. Какова вероятность одновременного наличия признака и положительного результата среди всех?
9. Какова вероятность наличия признака при выборе из всей группы без дополнительных условий?
10. Какова вероятность отрицательного результата при отсутствии признака? Подсказка: найдите размер группы после слова «среди» или «при условии».
11. Какова вероятность положительного результата среди участников без признака?
12. Какова вероятность отрицательного результата среди всех участников?
13. В другой учебной выборке 40 участников группы А дали 12 положительных результатов. Найдите P(положительный | группа А).
14. В другой учебной выборке группа Б содержит 60 человек, из них 18 получили положительный результат. Среди всех положительных из А и Б какова доля группы Б? Подсказка: найдите размер группы после слова «среди» или «при условии».
15. Если в таблице не было бы ни одного положительного результата, можно ли вычислить P(наличие признака | положительный результат)? Объясните.

Решения по шагам

Контрольные вопросы

• Проверка № 1: события «есть признак» и «нет признака» внутри одной условной группы дают в сумме вероятность 1.
• Проверка № 2: не меняйте местами P(A | B) и P(B | A); их знаменатели обычно различаются.
• Проверка № 3: вероятность безразмерна и находится между 0 и 1 включительно. При нулевом размере условной группы дробь не имеет смысла.

Памятка: вопрос определяет знаменатель

В условной вероятности вертикальная черта читается «при условии». Запись P(признак | положительный) означает, что все исходы с отрицательным результатом больше не участвуют в расчёте. Поэтому знаменатель равен 60, а не 45 и не 150. Если поменять части записи местами — P(положительный | признак), мы уже рассматриваем другую группу из 45 человек. Это принципиально разные школьные задания, даже если используются одни и те же 36 наблюдений.

Для удобства можно закрасить мысленно выбранный столбец или строку таблицы. Затем найдите пересечение выбранного условия и искомого события. Доля клетки в сумме строки или столбца и есть ответ. Если условие пусто, дробь с нулевым знаменателем не имеет значения; нельзя объявить вероятность равной нулю только потому, что данных нет.

Как проверить себя, не пересчитывая всё

1. Среди положительных 36 человек с признаком и 24 без него; 36/60 + 24/60 = 1. Это проверка дополнения внутри одного условия.
2. Среди отрицательных 9 участников с признаком и 81 без него; 9/90 + 81/90 = 1.
3. Среди участников с признаком положительны 36 и отрицательны 9; 36/45 + 9/45 = 1.
4. Среди участников без признака положительны 24 и отрицательны 81; 24/105 + 81/105 = 1.
5. Для события «одновременно признак и положительный результат» знаменатель равен 150. Его вероятность 36/150 отличается и от P(признак | положительный), и от P(положительный | признак).

Разбор распространённой подмены вопроса

Пусть учитель задаёт два вопроса: «Как часто положительный результат встречается у участников с признаком?» и «Как часто признак встречается среди людей с положительным результатом?». Первый вопрос об условной частоте положительного результата внутри группы с признаком: 36 из 45, то есть 80 %. Второй — о составе группы положительных: 36 из 60, то есть 60 %. Здесь не произошло ошибки округления — знаменатели действительно разные.

Если в выборке появятся дополнительные 100 человек без признака и с отрицательным результатом, числитель 36 в двух вопросах не изменится, как не изменятся их знаменатели 45 и 60. Однако вероятность положительного результата среди всех участников изменится: вместо 60/150 получится 60/250. Это пример того, почему безусловная вероятность и условная вероятность отвечают на разные вопросы.

Все приведённые дроби относятся только к описанной вымышленной группе. Даже идеально верный расчёт P(A | B) по таблице не позволяет без дополнительных данных делать выводы о населении в целом. В математике всегда нужно различать совокупность наблюдений и более широкую популяцию.