Вероятность не менее двух успехов в четырёх испытаниях — практикум с ответами для 11 класса
Прикладной кейс для 11 класса. На учебном испытательном стенде четыре независимых однотипных датчика способны передать условный сигнал. Считаем вероятность срабатывания каждого равной p, а сигналы — независимыми. Установка принимает решение «сигнал подтверждён», если сработало не меньше двух датчиков.
Содержание статьи10 разделов
Данные и математическая модель
| Показатель | Значение или условие |
|---|---|
| Число датчиков | 4 |
| Срабатывание отдельного датчика | p; 0 ≤ p ≤ 1 |
| Несрабатывание отдельного датчика | q = 1 − p |
| Условие подтверждения | 2, 3 или 4 срабатывания |
| Предположение | испытания независимы и имеют одинаковое p |
Вместо сложения трёх вероятностей удобно взять дополнение. Событие «не меньше двух» противоположно событию «ноль или один». Поэтому P(X ≥ 2) = 1 − q⁴ − 4pq³. Здесь C(4,1)=4 — четыре возможных места единственного успеха.
Серия 1 — как вероятность одного датчика меняет итог
- При p = 1/10 какова вероятность, что минимум два из четырёх датчиков передадут сигнал?
- При p = 1/4 какова вероятность, что минимум два из четырёх датчиков передадут сигнал?
- При p = 2/5 какова вероятность, что минимум два из четырёх датчиков передадут сигнал?
- При p = 1/2 какова вероятность, что минимум два из четырёх датчиков передадут сигнал?
- При p = 3/5 какова вероятность, что минимум два из четырёх датчиков передадут сигнал?
- При p = 3/4 какова вероятность, что минимум два из четырёх датчиков передадут сигнал?
- При p = 9/10 какова вероятность, что минимум два из четырёх датчиков передадут сигнал?
Результаты для таблицы стенда
| p | P(X ≥ 2) точно | Приближённо |
|---|---|---|
| 1/10 | 523/10000 | 5.23 % |
| 1/4 | 67/256 | 26.17 % |
| 2/5 | 328/625 | 52.48 % |
| 1/2 | 11/16 | 68.75 % |
| 3/5 | 513/625 | 82.08 % |
| 3/4 | 243/256 | 94.92 % |
| 9/10 | 9963/10000 | 99.63 % |
Серия 2 — связанные задачи о решении стенда
- Если вероятность срабатывания каждого датчика 1/2, сколько последовательностей из 16 равновероятных содержат хотя бы два сигнала?
- Для p = 1/2 найдите вероятность не менее трёх сигналов; сравните её с вероятностью не менее двух.
- Для p = 1/4 найдите вероятность ровно одного сигнала и объясните, почему она вычитается при поиске «не менее двух».
- В модели с p = 3/4 диспетчер требует минимум два сигнала. Какова вероятность, что требование не выполнится?
- Найдите вероятность ровно двух сигналов при p = 2/5 и сравните её с вероятностью не менее двух.
- Для p = 0 и p = 1 вычислите вероятность не менее двух сигналов и объясните смысл.
- При p = 1/2 два из четырёх датчиков физически связаны и их сигналы полностью совпадают. Можно ли автоматически применять биномиальную модель для четырёх независимых датчиков?
Полный ключ к серии 1
| № | Ответ с проверкой / объяснением |
|---|---|
| 1 | 1 − (9/10)⁴ − 4 × (1/10) × (9/10)³ = 523/10000 (≈ 5.23 %). |
| 2 | 1 − (3/4)⁴ − 4 × (1/4) × (3/4)³ = 67/256 (≈ 26.17 %). |
| 3 | 1 − (3/5)⁴ − 4 × (2/5) × (3/5)³ = 328/625 (≈ 52.48 %). |
| 4 | 1 − (1/2)⁴ − 4 × (1/2) × (1/2)³ = 11/16 (≈ 68.75 %). |
| 5 | 1 − (2/5)⁴ − 4 × (3/5) × (2/5)³ = 513/625 (≈ 82.08 %). |
| 6 | 1 − (1/4)⁴ − 4 × (3/4) × (1/4)³ = 243/256 (≈ 94.92 %). |
| 7 | 1 − (1/10)⁴ − 4 × (9/10) × (1/10)³ = 9963/10000 (≈ 99.63 %). |
Полный ключ к серии 2
| № | Ответ с проверкой / объяснением |
|---|---|
| 1 | 11 последовательностей: C(4,2) + C(4,3) + C(4,4) = 6 + 4 + 1 = 11; вероятность 11/16. |
| 2 | P(≥3) = (4+1)/16 = 5/16; для ≥2 равно 11/16, поскольку учитываются ещё 6 исходов с двумя сигналами. |
| 3 | 4 × (1/4) × (3/4)³ = 27/64; это один из двух исключаемых случаев (0 и 1 сигнал). |
| 4 | P(≤1) = (1/4)⁴ + 4 × (3/4) × (1/4)³ = 1/256 + 12/256 = 13/256. |
| 5 | P(=2) = C(4,2) × (2/5)² × (3/5)² = 6 × 4/25 × 9/25 = 216/625; P(≥2) больше, так как включает 3 и 4 сигнала. |
| 6 | При p = 0 вероятность 0, при p = 1 вероятность 1: все четыре сигнала гарантированно отсутствуют либо приходят. |
| 7 | Нет: зависимость делает последовательности неравновероятными по формуле pᵏ(1−p)⁽⁴⁻ᵏ⁾; нужны сведения о совместных исходах. |
Сверка модели и единиц
Вероятность P(X ≥ 2) не измеряется в сигналах: это доля возможных повторений. Количество сигналов X измеряется целым числом от 0 до 4. При вычислении процентов умножаем вероятность на 100; например 11/16 = 68,75 %.
Второй способ проверки: P(X ≥ 2) = 6p²q² + 4p³q + p⁴. Для p = 1/2 он даёт (6 + 4 + 1)/16 = 11/16, как и формула дополнения. Если способы дают разные ответы, проверьте коэффициент при ровно одном сигнале.
Ограничение модели: если качество связи, электропитание или общий источник помех создают зависимость, расчёт для независимых одинаково распределённых испытаний уже неприменим без уточнения условий.
Решение контрольного случая без формул на память
Для p = 1/2 удобно перечислить число возможных комбинаций. Всего 2⁴ = 16 равновероятных последовательностей срабатывания четырёх датчиков. Не устраивает ни одно срабатывание — одна последовательность, ни один из четырёх возможных вариантов единственного срабатывания. Значит, не устраивают 1 + 4 = 5 последовательностей; подтверждение дают 16 − 5 = 11. Поэтому вероятность 11/16.
Сравните две политики принятия решения
Политика А принимает сигнал при хотя бы одном срабатывании; её вероятность подтверждения P(X ≥ 1) = 1 − q⁴. Политика Б, применяемая в карточке, требует хотя бы двух; её вероятность P(X ≥ 2) = 1 − q⁴ − 4pq³. Политика Б всегда строже и потому имеет вероятность подтверждения не больше, чем политика А. Разница равна вероятности ровно одного сигнала, 4pq³.
Если p = 1/2, политика А даст 15/16, а Б — 11/16. Разница 4/16 = 1/4. Если p = 1, обе дают единицу; при p = 0 обе дают ноль. Это простая проверка смысла расчётов без большой таблицы значений.
Что необходимо для корректного применения модели
- Вероятность p должна относиться к одному фиксированному испытанию; не меняйте её внутри четырёх попыток без соответствующей новой модели.
- Независимость — отдельное математическое предположение: общий аккумулятор или общий канал связи могут нарушить её.
- Под «не менее двух» понимается 2, 3 или 4, поэтому ответ «ровно два» систематически занижен.
- Если проверяют реальную установку, математическая вероятность не заменяет требования безопасности и паспортные испытания оборудования.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.