Восстановление пропущенного действия с несколькими уровнями скобок: задачи с решениями для 5 класса

Нужно восстановить знак □ в выражении с вложенными скобками. На выбор четыре действия: +, −, ×, ÷. Все равенства задуманы так, чтобы подходил ровно один знак. Для решения полезно идти от правой части равенства к внутренней скобке с неизвестной операцией, применяя обратные действия. После нахождения знака обязательно проверьте исходное равенство прямым вычислением.

Разобранный базовый пример

((8 + 4) □ 3) + 5 = 41. Снимем внешнее прибавление 5: 41 − 5 = 36. Внутреннее выражение (8 + 4) даёт 12. Требуется действие, превращающее 12 и 3 в 36: это умножение. Прямая проверка: ((8 + 4) × 3) + 5 = 12 × 3 + 5 = 41. Другие знаки не дают 36.

Изменённое условие — тот же приём

Если в примере изменить правую часть с 41 на 14, получим ((8 + 4) □ 3) + 5 = 14. Теперь после вычитания 5 нужен результат 9. Из 12 и 3 его даёт вычитание. Проверка: (12 − 3) + 5 = 14. Итак, неизвестный знак зависит от условия, а не только от чисел вокруг квадратика.

Пятнадцать задач для самостоятельной серии

Решайте без калькулятора. Для каждого номера запишите: 1) обратные шаги от правого числа; 2) найденный знак; 3) прямую подстановку. Если получился неудобный результат, вернитесь к границам ближайшей скобки: возможно, вы раскрыли её в неверном порядке.

1. ((8 + 4) □ 3) + 5 = 41. Восстановите □ и объясните выбор.
2. (48 □ (6 + 2)) − 4 = 2. Восстановите □ и объясните выбор.
3. (30 − (5 □ 3)) × 2 = 30. Восстановите □ и объясните выбор.
4. (7 + (12 □ 4)) × 3 = 30. Восстановите □ и объясните выбор.
5. ((9 □ 3) + 8) ÷ 5 = 7. Восстановите □ и объясните выбор.
6. 64 ÷ ((12 □ 4) + 5) = 8. Восстановите □ и объясните выбор.
7. (90 − (18 □ 3)) ÷ 6 = 14. Восстановите □ и объясните выбор.
8. ((14 □ 6) × 2) − 5 = 35. Восстановите □ и объясните выбор.
9. 96 ÷ (4 □ 2) + 3 = 15. Восстановите □ и объясните выбор.
10. ((16 + 8) □ 6) + 10 = 14. Восстановите □ и объясните выбор.
11. (3 × (8 □ 2)) − 6 = 24. Восстановите □ и объясните выбор.
12. ((50 □ 15) ÷ 5) + 2 = 9. Восстановите □ и объясните выбор.
13. (80 − (24 □ 6)) ÷ 4 = 19. Восстановите □ и объясните выбор.
14. (6 + (24 □ (2 + 4))) × 2 = 20. Восстановите □ и объясните выбор.
15. (75 − (4 □ (9 − 3))) ÷ 3 = 17. Восстановите □ и объясните выбор.

Обратные решения и прямые проверки

1. № 1: □ = ×. Обратный ход: 41 − 5 = 36; 8 + 4 = 12; 12 × 3 = 36. Прямая проверка: ((8 + 4) × 3) + 5 = 41.
2. № 2: □ = ÷. Обратный ход: 2 + 4 = 6; 6 + 2 = 8; 48 ÷ 8 = 6. Прямая проверка: (48 ÷ (6 + 2)) − 4 = 2.
3. № 3: □ = ×. Обратный ход: 30 ÷ 2 = 15; 30 − 15 = 15; 5 × 3 = 15. Прямая проверка: (30 − (5 × 3)) × 2 = 30.
4. № 4: □ = ÷. Обратный ход: 30 ÷ 3 = 10; 10 − 7 = 3; 12 ÷ 4 = 3. Прямая проверка: (7 + (12 ÷ 4)) × 3 = 30.
5. № 5: □ = ×. Обратный ход: 7 × 5 = 35; 35 − 8 = 27; 9 × 3 = 27. Прямая проверка: ((9 × 3) + 8) ÷ 5 = 7.
6. № 6: □ = ÷. Обратный ход: 64 ÷ 8 = 8; 8 − 5 = 3; 12 ÷ 4 = 3. Прямая проверка: 64 ÷ ((12 ÷ 4) + 5) = 8.
7. № 7: □ = ÷. Обратный ход: 14 × 6 = 84; 90 − 84 = 6; 18 ÷ 3 = 6. Прямая проверка: (90 − (18 ÷ 3)) ÷ 6 = 14.
8. № 8: □ = +. Обратный ход: 35 + 5 = 40; 40 ÷ 2 = 20; 14 + 6 = 20. Прямая проверка: ((14 + 6) × 2) − 5 = 35.
9. № 9: □ = ×. Обратный ход: 15 − 3 = 12; 96 ÷ 12 = 8; 4 × 2 = 8. Прямая проверка: 96 ÷ (4 × 2) + 3 = 15.
10. № 10: □ = ÷. Обратный ход: 14 − 10 = 4; 16 + 8 = 24; 24 ÷ 6 = 4. Прямая проверка: ((16 + 8) ÷ 6) + 10 = 14.
11. № 11: □ = +. Обратный ход: 24 + 6 = 30; 30 ÷ 3 = 10; 8 + 2 = 10. Прямая проверка: (3 × (8 + 2)) − 6 = 24.
12. № 12: □ = −. Обратный ход: 9 − 2 = 7; 7 × 5 = 35; 50 − 15 = 35. Прямая проверка: ((50 − 15) ÷ 5) + 2 = 9.
13. № 13: □ = ÷. Обратный ход: 19 × 4 = 76; 80 − 76 = 4; 24 ÷ 6 = 4. Прямая проверка: (80 − (24 ÷ 6)) ÷ 4 = 19.
14. № 14: □ = ÷. Обратный ход: 20 ÷ 2 = 10; 10 − 6 = 4; 2 + 4 = 6; 24 ÷ 6 = 4. Прямая проверка: (6 + (24 ÷ (2 + 4))) × 2 = 20.
15. № 15: □ = ×. Обратный ход: 17 × 3 = 51; 75 − 51 = 24; 9 − 3 = 6; 4 × 6 = 24. Прямая проверка: (75 − (4 × (9 − 3))) ÷ 3 = 17.

Почему нельзя заменять обратную проверку угадыванием

В задаче 5 легко ошибочно поставить сложение, заметив рядом числа 9 и 3. Но итоговая внешняя операция — деление на 5, поэтому сначала восстановим числитель: 7 × 5 = 35. После вычитания прибавленных 8 получаем 27, а это точно 9 × 3. При сложении вышло бы (9 + 3 + 8) ÷ 5 = 4, а не 7.

В задаче 9 внешняя запись особенно коварна: последний по порядку шаг — прибавить 3. Чтобы найти значение дроби, от 15 надо отнять 3, получится 12. Тогда делитель должен быть 96 ÷ 12 = 8. Его дают 4 × 2. Если по ошибке сначала добавить 3 к правой части, вы получите не тот делитель и потеряете связь с условием.

В задаче 12 обратное решение требует восстановить сумму и частное внутри скобки. После удаления +2 остаётся 7, до деления на 5 было 35. Из 50 и 15 нужное 35 получается только вычитанием. Это также быстрый способ убедиться в единственности ответа.

Когда обратный ход особенно важен

Задача 6 показывает, как быстро определить действие внутри двойных скобок. Правую часть 8 сравниваем с внешним делением: чтобы 64 разделить и получить 8, делитель должен равняться 8. Но в записи делитель — это (12 □ 4) + 5. Вычитаем 5, получаем 3. Число 3 из 12 и 4 получается делением. Прямая подстановка даёт 64 ÷ (3 + 5) = 8. Ошибочно считать, что знак внутри самой маленькой скобки обязательно выполняется последним: здесь он нужен гораздо раньше.

Задача 13 устроена иначе: сначала приходится отменить внешнее деление на 4. Из 19 × 4 получаем 76. Затем находим внутреннее число, которое вычитали из 80: оно равно 4. Только после этого возникает маленькая задача 24 □ 6 = 4, для которой подходит деление. Если идти слева направо подбором четырёх вариантов, легко отвлечься на большие числа, хотя структура обратных действий однозначна.

Уникальность найденного знака стоит подтвердить особенно там, где возможны разные простые операции. В № 8 требуемое внутреннее число 20. Из 14 и 6 сложение даёт 20, вычитание — 8, умножение — 84, деление даёт дробь. Поэтому другой знак не может восстановить равенство. В № 11 требуемая внутренняя величина 10; именно 8 + 2 = 10, в то время как 8 − 2 = 6, 8 × 2 = 16, 8 ÷ 2 = 4.

Для учителя полезно проверять две разные части решения: правильность обратных шагов от внешнего результата и проверку прямой подстановкой. Ученик может случайно угадать нужный знак, но это ещё не показывает понимания вложенных скобок. Полный ответ демонстрирует, какое число должно находиться в пропущенном месте, почему один знак даёт именно его и почему итоговое равенство действительно выполняется.

Разбор типичной ошибки и самостоятельная самопроверка

Ошибка: в задаче 14 выполнить 24 □ 2, затем прибавить 4, как будто внутренняя скобка не существует. Правильно сначала найти 2 + 4 = 6. После обратного хода от 20 требуется, чтобы 24 □ 6 = 4, то есть нужна операция деления. Скобки не могут быть проигнорированы даже тогда, когда хочется подобрать знак быстрее.

Для итоговой проверки возьмите задачу 15 и проговорите решение в обе стороны. Справа налево: 17 × 3 = 51, значит из 75 вычитали 24; внутри 9 − 3 = 6, поэтому 4 × 6 = 24. Слева направо: (75 − 24) ÷ 3 = 17. Две совпадающие цепочки дают сильную проверку и порядка действий, и восстановленного знака.

После выполнения всех номеров сравните не только знаки, но и цепочки. Если знак выбран верно, а равенство после подстановки не совпадает, исправьте арифметику. Если ни один знак не подходит, перепроверьте обратные действия и место неизвестной операции. Для этих пятнадцати условий неоднозначного решения нет.