Поиск делителя по условию в задаче на упаковку предметов: самостоятельная работа, 5 класс

Для 5 класса. Цель работы — определить вместимость одной коробки по числу предметов, количеству полностью заполненных коробок и остатку, а затем проверить, возможна ли такая упаковка. Карточка сочетает чтение таблицы, вычисление и поиск противоречий.

Если N предметов разложили в q полных коробок по d предметов и осталось r предметов, то N = q × d + r. Неизвестную вместимость находят как d = (N − r) : q. После вычисления обязательна проверка: d — положительное целое число и 0 ≤ r < d. Иначе остатка хватит ещё на полную коробку или вместимость окажется дробной.

Часть I. Прочитайте таблицу упаковки

Для каждой строки найдите предполагаемую вместимость коробки, проверьте остаток и сделайте вывод. Внимание: среди записей есть невозможные ситуации. Под таблицей не подглядывайте в ключ, пока не завершите самостоятельную проверку.

Для проверки данных удобно сперва вычесть неупакованные предметы, потом разделить разность на число полных коробок. Так мы отделяем число предметов, точно находящихся внутри коробок, от остатка. В конце удостоверьтесь, что найденный делитель больше остатка.

Часть II. Самостоятельная работа

1. Для кружка собрали 146 значков: заполнили 12 коробок, 2 значка остались. Сколько значков в коробке?
2. 217 тетрадей уложили в 14 одинаковых полных пачек, 7 тетрадей остались. Найдите число тетрадей в пачке.
3. 157 жетонов разместили в 13 полных конвертах, 1 жетон остался. Определите вместимость.
4. Упаковали 178 деталей в 11 полных коробок; 2 детали не вошли. Найдите делитель и запишите обратную проверку.
5. Из 247 кубиков собрали 16 полных одинаковых наборов, ещё 7 кубиков лежат отдельно. Сколько кубиков в наборе?
6. 124 фломастера разложили в 10 полных пеналов, 4 фломастера остались. Найдите число фломастеров в пенале.
7. В отчёте сказано: 168 открыток — 13 полных пакетов и 12 лишних. Существует ли целая вместимость, согласующаяся с записью?
8. Для 143 медалей изготовили 10 полных пакетов, 3 медали остались. Найдите вместимость и объясните, почему остаток допустим.
9. 90 карандашей поместились в 8 полных коробок, а 2 остались. Проверьте вместимость.
10. Заявлено: 92 открытки, 7 полных одинаковых папок и 2 лишние открытки. Можно ли доверять отчёту?
11. Склад записал: 72 батарейки, 9 полных упаковок и 9 неупакованных. Объясните ошибку без подбора другой темы.

Ключ к таблице и объяснение ошибок

1. A. d = (103 − 3) : 10 = 10; 10 × 10 + 3 = 103. Упаковка возможна, так как остаток меньше вместимости.
2. Б. d = (118 − 1) : 9 = 13; 9 × 13 + 1 = 118. Упаковка возможна, так как остаток меньше вместимости.
3. В. d = (91 − 11) : 8 = 10; 8 × 10 + 11 = 91. Запись невозможна: остаток 11 не меньше вместимости 10; можно было заполнить ещё одну коробку.
4. Г. d = (75 − 5) : 7 = 10; 7 × 10 + 5 = 75. Упаковка возможна, так как остаток меньше вместимости.
5. Д. d = (103 − 4) : 9 = 11; 9 × 11 + 4 = 103. Упаковка возможна, так как остаток меньше вместимости.
6. Е. (89 − 3) : 6 = 86/6, не целое число; вместимость целыми предметами не получается. Запись невозможна.

Ответы к самостоятельной работе

1. 1. d = (146 − 2) : 12 = 12; проверка: 12 × 12 + 2 = 146. Условие выполнимо: 2 < 12.
2. 2. d = (217 − 7) : 14 = 15; проверка: 14 × 15 + 7 = 217. Условие выполнимо: 7 < 15.
3. 3. d = (157 − 1) : 13 = 12; проверка: 13 × 12 + 1 = 157. Условие выполнимо: 1 < 12.
4. 4. d = (178 − 2) : 11 = 16; проверка: 11 × 16 + 2 = 178. Условие выполнимо: 2 < 16.
5. 5. d = (247 − 7) : 16 = 15; проверка: 16 × 15 + 7 = 247. Условие выполнимо: 7 < 15.
6. 6. d = (124 − 4) : 10 = 12; проверка: 10 × 12 + 4 = 124. Условие выполнимо: 4 < 12.
7. 7. d = (168 − 12) : 13 = 12; проверка: 13 × 12 + 12 = 168. Условие противоречиво: 12 ≥ 12; число полных упаковок указано неверно.
8. 8. d = (143 − 3) : 10 = 14; проверка: 10 × 14 + 3 = 143. Условие выполнимо: 3 < 14.
9. 9. d = (90 − 2) : 8 = 11; проверка: 8 × 11 + 2 = 90. Условие выполнимо: 2 < 11.
10. 10. (92 − 2) : 7 = 90/7 — не целое число; такой упаковки целыми предметами не существует.
11. 11. d = (72 − 9) : 9 = 7; проверка: 9 × 7 + 9 = 72. Условие противоречиво: 9 ≥ 7; число полных упаковок указано неверно.

Памятка для самопроверки. Совпадение произведения и суммы с исходным количеством — только первая часть проверки. Если делитель не целый или остаток не меньше делителя, исходная формулировка неверна. Для любой следующей задачи используйте обе проверки и указывайте, какая из них не пройдена.

Разбор трёх способов проверки — после выполнения заданий

В строке Б сразу видно, сколько предметов находится внутри упаковок: 118 − 1 = 117. Девять одинаковых коробок должны содержать 117 предметов, поэтому каждая вмещает 117 : 9 = 13. Обратная проверка возвращает число 118, а сравнение 1 < 13 подтверждает допустимость остатка. Это пример полной проверки: все три числа связаны одной задачей.

В строке В действие (91 − 11) : 8 даёт целое число 10. Было бы ошибкой остановиться на этом результате и ответить «по 10 в коробке». Одиннадцать оставшихся предметов позволяют заполнить ещё одну коробку по 10, после чего останется 1. Значит, при такой вместимости было бы 9 полных коробок, а не 8. Здесь деление выполнено верно, но описание упаковки неверно.

В строке Е возникает другой тип противоречия. После удаления остатка остаётся 86 предметов; разделить их на шесть одинаковых полных коробок с целым количеством предметов нельзя. Не следует округлять вместимость или менять остаток по своему усмотрению: в условии требуется найти вместимость именно по заданным числам. Если число предметов неделимо нацело, решение в натуральных числах отсутствует.

Как оформить ответ, если в условии ошибка

Начните с вычисления d = (N − r) : q. Если деление не выполняется нацело, напишите «целой вместимости не существует» и приведите деление с остатком. Если вместимость найдена, проверьте оба равенства: N = q × d + r и r < d. При нарушении второй проверки покажите, какой именно остаток помешал признать коробки полными. Не придумывайте исправленный исходный набор чисел без прямого требования задачи.

При записи ответа используйте единицы измерения: вместимость одной коробки — в предметах на коробку, количество коробок — в штуках, остаток — в предметах. В задачах 7 и 11 задача состоит не в поиске случайного целого ответа, а в доказательстве невозможности исходного отчёта. Такое отрицательное заключение тоже является полноценным математическим результатом.

Сравните задания 1 и 9. В них остаток одинаковый — два предмета, но число полных коробок и общее количество различаются. Поэтому нельзя искать вместимость только по остатку. Сначала из общего числа вычитают остаток, затем делят на заданное число полных коробок. Этот порядок действий предотвращает подмену неизвестного делителя неизвестным частным.

Для учителя: предложите ученику сначала заполнить только графу вместимости, не делая вывода о возможности упаковки. При совместной проверке попросите отдельно назвать причину отказа для строк В и Е: в одном случае полученная вместимость не превышает остаток, в другом деление на число коробок не выполняется нацело. Эти причины нельзя объединять под общим ответом «ошибка в вычислении»: они проверяют разные математические умения.