Проверка обратного действия при заданном частном и разности: мини-практикум с ответами, 5 класс

Рабочий лист для 5 класса. Ученик: ____________________ Дата: __________. Тема — восстановление делимого и делителя по частному и разности между ними. Задачи этой карточки относятся к делению без остатка; поэтому каждое найденное значение можно проверить умножением и вычитанием.

Памятка перед самостоятельной работой

Обозначим делимое буквой N, делитель — d, известное частное — q, а разность делимого и делителя — Δ. Тогда N : d = q, N = q × d и N − d = Δ. Значит, Δ = (q − 1) × d, откуда d = Δ : (q − 1) и N = q × d. Частное должно быть больше 1; разность должна делиться на q − 1 без остатка, иначе натурального решения нет.

Пример. Частное 6, разность делимого и делителя 85. Находим d = 85 : (6 − 1) = 17; N = 6 × 17 = 102. Проверка двух условий: 102 : 17 = 6 и 102 − 17 = 85.

Вариант А — основные вычисления

Во всех заданиях частное и разность заданы. Найдите два натуральных числа (делимое и делитель). Запишите на черновике действие, которым вы проверили ответ.

1. Частное 5, разность делимого и делителя 84. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.
2. Частное 7, разность делимого и делителя 96. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.
3. Частное 4, разность делимого и делителя 87. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.
4. Частное 9, разность делимого и делителя 112. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.
5. Частное 6, разность делимого и делителя 95. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.
6. Частное 8, разность делимого и делителя 105. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.
7. Частное 3, разность делимого и делителя 74. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.
8. Частное 10, разность делимого и делителя 117. Найдите оба числа. Ответ: d = ______, N = ______.

Вариант Б — найдите и объясните несоответствие

Решайте тем же способом, но допускайте ответ «решения в натуральных числах нет». Для невозможного случая покажите, какое деление не выполняется нацело.

1. Частное 6, разность 78. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.
2. Частное 7, разность 126. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.
3. Частное 5, разность 100. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.
4. Частное 4, разность 94. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.
5. Частное 11, разность 90. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.
6. Частное 8, разность 126. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.
7. Частное 3, разность 55. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.
8. Частное 9, разность 144. Существуют ли такие натуральные числа N и d? Если да, найдите их и проверьте два условия.

Подробный ключ для учителя: вариант А

1. 1. d = 84 : (5 − 1) = 21; N = 5 × 21 = 105. Проверка: 105 : 21 = 5, 105 − 21 = 84.
2. 2. d = 96 : (7 − 1) = 16; N = 7 × 16 = 112. Проверка: 112 : 16 = 7, 112 − 16 = 96.
3. 3. d = 87 : (4 − 1) = 29; N = 4 × 29 = 116. Проверка: 116 : 29 = 4, 116 − 29 = 87.
4. 4. d = 112 : (9 − 1) = 14; N = 9 × 14 = 126. Проверка: 126 : 14 = 9, 126 − 14 = 112.
5. 5. d = 95 : (6 − 1) = 19; N = 6 × 19 = 114. Проверка: 114 : 19 = 6, 114 − 19 = 95.
6. 6. d = 105 : (8 − 1) = 15; N = 8 × 15 = 120. Проверка: 120 : 15 = 8, 120 − 15 = 105.
7. 7. d = 74 : (3 − 1) = 37; N = 3 × 37 = 111. Проверка: 111 : 37 = 3, 111 − 37 = 74.
8. 8. d = 117 : (10 − 1) = 13; N = 10 × 13 = 130. Проверка: 130 : 13 = 10, 130 − 13 = 117.

Подробный ключ для учителя: вариант Б

1. 1. 78 : (6 − 1) не даёт натурального делителя, поскольку 78 не делится на 5 нацело. Решения нет.
2. 2. d = 126 : (7 − 1) = 21; N = 7 × 21 = 147. Проверка: 147 : 21 = 7, 147 − 21 = 126.
3. 3. d = 100 : (5 − 1) = 25; N = 5 × 25 = 125. Проверка: 125 : 25 = 5, 125 − 25 = 100.
4. 4. 94 : (4 − 1) не даёт натурального делителя, поскольку 94 не делится на 3 нацело. Решения нет.
5. 5. d = 90 : (11 − 1) = 9; N = 11 × 9 = 99. Проверка: 99 : 9 = 11, 99 − 9 = 90.
6. 6. d = 126 : (8 − 1) = 18; N = 8 × 18 = 144. Проверка: 144 : 18 = 8, 144 − 18 = 126.
7. 7. 55 : (3 − 1) не даёт натурального делителя, поскольку 55 не делится на 2 нацело. Решения нет.
8. 8. d = 144 : (9 − 1) = 18; N = 9 × 18 = 162. Проверка: 162 : 18 = 9, 162 − 18 = 144.

Как оценивать. За каждую задачу можно дать 1 балл за правильный результат и 1 балл за обратную проверку. В варианте Б полный балл за невозможную задачу ставьте только при объяснении причины: деление Δ на q − 1 с остатком. Неверно считать дробный делитель подходящим числом предметов или пачек.

Разбор распространённой ошибки. Иногда вместо Δ : (q − 1) ученик вычисляет Δ : q. Это теряет одну копию делителя: разность N − d содержит именно q − 1 равных частей, а не q. Чтобы заметить ошибку, достаточно сравнить полученные числа вычитанием: должно выйти точно заданное Δ.

Для повторной самостоятельной работы достаточно закрыть нижние ключи листом бумаги. Все значения выбраны так, чтобы проверка была возможна обычными действиями с натуральными числами, без уравнений с дробными коэффициентами.

Разбор для учителя: почему получается именно q − 1

Представьте делимое в виде q одинаковых частей, в каждой из которых d единиц. Тогда делимое N = d + d + … + d, всего q слагаемых. Если из этого числа вычесть одну часть d, остаётся q − 1 таких же частей. Поэтому разность Δ всегда кратна q − 1. Этот вывод полезно показать на рисунке из одинаковых клеток, прежде чем переходить к буквенной записи.

Например, если частное 7, а разность 96, то разность состоит из шести одинаковых частей. Шесть частей вместе дают 96, значит одна часть равна 16. Делимое содержит уже семь таких частей: 7 × 16 = 112. Обратная проверка состоит из двух действий, а не одного: 112 : 16 = 7; 112 − 16 = 96.

Теперь рассмотрим первую задачу варианта Б: частное 6, разность 78. Разность должна состоять из пяти равных целых частей, но 78 : 5 = 15 (ост. 3). Если взять делитель 15, то делимое равно 90 и разность составит лишь 75; если взять 16, то разность будет 80. Ни один натуральный делитель не даёт ровно 78. Нельзя округлять число 15,6 до 16: округление меняет исходное условие.

Самостоятельная проверка результатов

Записывайте ответ как пару чисел «делимое, делитель» и под ним две строки проверки: «делимое : делитель = заданное частное» и «делимое − делитель = заданная разность». Даже если первая строка верна, вторая может оказаться ошибочной при неверном вычислении делителя.

При объяснении отсутствия решения ученик должен назвать не просто «не делится», а указать, какая именно разность не делится на сколько равных частей: на число q − 1. Это помогает отличить содержательную ошибку в способе от обычной арифметической описки.

Для дифференциации урока предложите сначала только вариант А, где все решения натуральные, а затем вариант Б, где есть случаи без решения. Так учащиеся сначала освоят обратное действие, а затем научатся проверять выполнимость исходных условий.