Определение границ округления числа по заданному интервалу возможного ответа — диагностика ошибок, 5 класс

Школьная мастерская измеряет длину шести лент, но из-за точности прибора для каждой длины известен лишь интервал возможных значений. Ученики должны заказать бирки, на которых длина указана с округлением. Можно ли печатать одно число или возможны два соседних значения? Здесь требуется восстановить границы округлённого ответа по заданному промежутку, а затем отыскать типичные ошибки в рассуждениях.

Исходные измерения

Все длины положительны и указаны в сантиметрах. Интервалы имеют вид [a; b): левое значение разрешено, а правое исключено. Это означает, что фактическая длина не меньше a, но строго меньше b. Для бирки используются обычные правила округления с увеличением последнего сохранённого разряда при цифре 5.

Для примера разберём ленту А: длина может быть ровно 12,34 см, но 12,36 см недопустима. Округление до сотых ничего не меняет у значений 12,34; 12,35. Между ними возможны и другие точные длины, например 12,345, которые дадут 12,35 после округления. Следовательно, нужно находить множество возможных надписей, а не переписывать левый или правый конец интервала без проверки.

12 связанных заданий мастерской

1. Лента А. Назовите все округлённые результаты для ленты А.
2. Лента А. Может ли бирка А всегда содержать только число 12,35? Дайте два контрпримера.
3. Лента Б. Определите все допустимые надписи для ленты Б.
4. Лента Б. Проверьте утверждение: «8,155 можно подставить вместо верхней границы». Объясните.
5. Лента В. Сколько различных надписей возможно для ленты В при округлении до десятых?
6. Лента В. Найдите две длины ленты В, которые дадут разные надписи.
7. Лента Г. Поясните, что будет напечатано на бирке Г при любой допустимой длине.
8. Лента Г. Можно ли напечатать 14,1 на бирке Г? Обоснуйте границей округления.
9. Лента Д. Перечислите возможные надписи для ленты Д при округлении до сотых.
10. Лента Д. Почему результат 4,01 может быть недоступен даже при близком верхнем конце?
11. Лента Е. Какие надписи возможны для ленты Е? Не забудьте правило для ровно 7,45.
12. Лента Е. Ученик объявил, что достаточно усреднить 7,45 и 7,55. Согласны ли вы?

Модель для проверки ответов

Пусть точная длина x принадлежит полуинтервалу [a; b). Чтобы выяснить все возможные округлённые значения, найдите ближайшие центры округления и пороги между ними. Например, сотые 4,00 округляются из промежутка [3,995; 4,005), а 4,01 начинается с 4,005. Поэтому исключённая граница 4,005 не позволяет получить 4,01.

Ключ с обоснованием и диагностика ошибок

1. № 1 — лента А. При округлении до сотых получаем набор 12,34, 12,35, 12,36. Он определяется всеми точными числами из [12,34; 12,36), а не только двумя граничными числами.
2. № 2 — лента А. Нет. Например, 12,341 округляется до 12,34, а 12,355 округляется до 12,36; оба числа строго меньше 12,36. Единственной надписи не существует.
3. № 3 — лента Б. При округлении до сотых получаем набор 8,15. Он определяется всеми точными числами из [8,145; 8,155), а не только двумя граничными числами.
4. № 4 — лента Б. Нельзя: 8,155 лежит на исключённой верхней границе, поэтому его нельзя считать допустимой длиной. Число 8,1549 допустимо и округляется до 8,15. Значение 8,16 в этом интервале не возникает.
5. № 5 — лента В. При округлении до десятых получаем набор 5,2, 5,3. Он определяется всеми точными числами из [5,22; 5,28), а не только двумя граничными числами.
6. № 6 — лента В. Например, 5,23 округляется до 5,2, а 5,26 — до 5,3. Оба числа находятся между 5,22 и 5,28. Значит, возможны разные бирки.
7. № 7 — лента Г. Единственная надпись — 14,0. Весь интервал от 14,04 до числа меньше 14,05 попадает в область округления до 14,0.
8. № 8 — лента Г. Нет. Для округления до 14,1 исходная длина должна быть не меньше 14,05; заданная длина строго меньше 14,05.
9. № 9 — лента Д. При округлении до сотых получаем набор 4,00. Он определяется всеми точными числами из [3,995; 4,005), а не только двумя граничными числами.
10. № 10 — лента Д. Чтобы получить 4,01, длина должна быть не меньше 4,005. Но x < 4,005. Даже число 4,0049 округлится до 4,00.
11. № 11 — лента Е. При округлении до десятых получаем набор 7,5. Он определяется всеми точными числами из [7,45; 7,55), а не только двумя граничными числами.
12. № 12 — лента Е. Нет. Середина 7,5 не доказывает, что все допустимые числа округляются одинаково: для этого нужно исследовать обе граничные области. Проверка показывает, что в данном интервале всё же получается единственная надпись 7,5.

Проверка разумности и ошибок измерения

При одинаковой единице измерения не следует принимать открытый правый конец промежутка за возможное точное показание. Иначе появляются лишние результаты ровно на границе округления. В задачах о ленте Г это особенно заметно: при x < 14,05 округление до десятых остаётся 14,0, а 14,1 потребовало бы x ≥ 14,05. Тот же принцип работает для ленты Д с точностью до сотых и порогом 4,005.

Вторая распространённая ошибка — округлять границы интервала и считать, что других ответов быть не может. На ленте А можно проверить промежуточные числа: при x=12,345 получится 12,35, при x=12,355 получится 12,36. Поэтому проверка должна учитывать точки между концами. Третья ошибка — считать, что число с большим количеством десятичных знаков «точнее» само по себе: важно, что именно известно об исходном измерении.

Для учителя: дайте ученику выбрать любые три ленты, объяснить, почему возможен именно указанный набор округлённых значений, и предложить хотя бы по одному реальному измерению для каждой допустимой надписи. Такой способ проверки сразу показывает, понимает ли он смысл левой и правой границы, а не просто выполняет действие с двумя числами.