Восстановление пропущенной десятичной цифры при разных количествах знаков после запятой: математический практикум для 5 класса

В этом практикуме вместо одного десятичного знака напечатан квадратик □. Вставить можно любую одну цифру от 0 до 9, но требуется выполнить всё условие: равенство, двойное сравнение или округление. Числа имеют разное количество знаков после запятой, поэтому нельзя решать задания только «по совпадению столбиков» без учёта разрядов. Материал разделён на два варианта для работы в парах и последующей взаимной проверки.

Два способа восстановления цифры

Способ А — уравнять разряды. В выражении 4,□ + 0,35 = 5,05 удобно записать 4,□0 + 0,35 = 5,05, а затем вычесть 0,35 из 5,05. Получится 4,70; значит, □ = 7. Если же десятичный знак пропущен среди сотых или тысячных, нули приписывают справа, но не переставляют запятую.

Способ Б — перейти к проверяемому интервалу. Например, 6,□04 должно быть больше 6,204 и меньше 6,404. Так как меняется только цифра десятых, между двумя границами ровно одна подходящая десятка сотых: 6,304, то есть □ = 3. При округлении сравнивать нужно не с самим округлённым числом, а с порогами, которые к нему приводят.

Вариант А. Сравнение разрядов

Работайте без спешки: в первой колонке нужно вписать цифру, а рядом — показать одно обоснование, которое исключает остальные девять возможностей. Ответ без проверки можно считать только предположением. Первые задания специально перемежают операции и округление.

1. 4,□ + 0,35 = 5,05 Найдите □ и подтвердите своё решение.
2. 8,2□ − 0,067 = 8,173 Найдите □ и подтвердите своё решение.
3. 6,204 < 6,□04 < 6,404 Найдите □ и подтвердите своё решение.
4. 0,□8 округляется до десятых как 0,7 Найдите □ и подтвердите своё решение.
5. 9,1□6 округляется до сотых как 9,15 Найдите □ и подтвердите своё решение.
6. 3,□02 × 2 = 6,804 Найдите □ и подтвердите своё решение.
7. 12,0□ + 0,175 = 12,225 Найдите □ и подтвердите своё решение.
8. 5,174 < 5,1□4 < 5,194 Найдите □ и подтвердите своё решение.
9. 7,□9 − 0,31 = 7,28 Найдите □ и подтвердите своё решение.

Ключ варианта А

1. □ = 7. Вычтите 0,35 из 5,05. Дописывание нуля после десятых делает разряды сопоставимыми.
2. □ = 4. Искомое число находится сложением 8,173 и 0,067; запись с сотыми допустимо дополнить нулём.
3. □ = 3. Сравнение решается по цифре десятых: строго между двумя границами лежит только десятичное число с 3 десятыми.
4. □ = 6. При округлении сотых цифра 8 увеличивает десятые на 1; поэтому перед округлением было 0,68.
5. □ = 4. Число тысячных равно 6, поэтому сотые увеличиваются на единицу: 9,146 превращается в 9,15.
6. □ = 4. Деление 6,804 на 2 возвращает 3,402; проверка умножением подтверждает результат.
7. □ = 5. Вычтите тысячные как обычные разряды: 12,225 − 0,175 = 12,050.
8. □ = 8. Изменяется цифра сотых; интервал допускает только 5,184.
9. □ = 5. Обратное сложение: 7,28 + 0,31 = 7,59.

Вариант Б. Обратные действия и проверка

Работайте без спешки: в первой колонке нужно вписать цифру, а рядом — показать одно обоснование, которое исключает остальные девять возможностей. Ответ без проверки можно считать только предположением. Обратите внимание на тысячные и десятичные числа, у которых после запятой разное количество разрядов.

1. 0,3□5 + 0,028 = 0,373 Найдите □ и подтвердите своё решение.
2. 4,□06 − 0,375 = 4,231 Найдите □ и подтвердите своё решение.
3. 2,4□ × 0,5 = 1,235 Найдите □ и подтвердите своё решение.
4. 18,00□ + 0,046 = 18,053 Найдите □ и подтвердите своё решение.
5. 0,□025 × 4 = 2,81 Найдите □ и подтвердите своё решение.
6. 7,9□6 округляется до сотых как 7,93 Найдите □ и подтвердите своё решение.
7. 10,31 < 10,□2 < 10,33 Найдите □ и подтвердите своё решение.
8. 9,□8 + 0,036 = 9,816 Найдите □ и подтвердите своё решение.
9. 3,2□5 + 0,075 = 3,300 Найдите □ и подтвердите своё решение.

Ключ варианта Б

1. □ = 4. Результат вычитания 0,373 − 0,028 = 0,345 даёт цифру сотых.
2. □ = 6. Обратное сложение приводит к 4,606: здесь меняется десятая, а не тысячная цифра.
3. □ = 7. Умножение на половину отменяется умножением результата на 2: 1,235 × 2 = 2,470.
4. □ = 7. Вычитаем тысячные: 18,053 − 0,046 = 18,007.
5. □ = 7. Разделите 2,81 на 4: получится 0,7025, где пропущена цифра десятых.
6. □ = 2. Цифра тысячных 6 увеличивает сотые. Единственная возможная пропущенная цифра — 2.
7. □ = 3. Промежуток между 10,31 и 10,33 содержит 10,32; никаких других цифр десятых нет.
8. □ = 7. 9,816 − 0,036 = 9,780; полезно приписать нули справа после сотых.
9. □ = 2. Разность 3,300 − 0,075 = 3,225; три нуля не меняют величину 3,3.

Взаимная проверка без угадывания

Ученик А получает решения второго варианта, ученик Б — первого. Проверяющий не подставляет цифру на глаз, а выбирает один из трёх способов контроля: обратное действие для равенства, сравнение полученного значения с обеими строгими границами или повторное округление по указанному разряду. Такой контроль позволяет заметить ошибку даже в случаях, когда сама цифра была угадана верно.

• В равенствах сначала восстановите всё десятичное число, и только после этого назовите одну пропущенную цифру.
• В двойных неравенствах проверьте обе границы, особенно если отличие составляет сотые или тысячные.
• В округлении проверьте первый отброшенный знак. Не заменяйте правило предположением, будто округление всегда «обрезает» число.
• Если ответы партнёров не совпали, выпишите два возможных кандидата полностью и подставьте каждый в исходное условие.

Пример взаимной проверки: для 2,4□ × 0,5 = 1,235 можно вычислить 1,235 × 2 = 2,47, откуда □ = 7. Вторая проверка: 2,47 × 0,5 = 1,235. Если кто-то записал 2,407, видно, что ошибочно перенёс неизвестный знак в тысячные. Эта проверка не требует калькулятора и объясняет причину неверного ответа.

Критерий выполненной работы: 9 восстановленных цифр и 9 коротких доказательств в каждом варианте. Для учащихся, которые ошибаются из-за разного числа знаков, полезно повторить запись 2,47 = 2,470, а также различать 0,47 и 0,407. Эти числа не равны, хотя в записи встречаются похожие цифры.