Восстановление пропущенной десятичной цифры при умножении на число меньше единицы — проверочная работа по математике, 5 класс

В этой работе скрыта одна цифра десятичной дроби. Чтобы её найти, нужно правильно выполнить умножение на число меньше единицы или обратить действие делением. В отличие от обычного умножения, здесь произведение положительных чисел оказывается меньше исходного множимого. В последних заданиях результат ещё и округлён, поэтому подходящих цифр может оказаться несколько.

Лёгкий старт: три разобранных шага

Рассмотрим равенство 2,□ × 0,5 = 1,35. Делим 1,35 на 0,5 и получаем 2,7, следовательно, □ = 7. Обратная проверка: 2,7 × 0,5 = 1,35. Важно не делить только цифры после запятой: десятичное число рассматривают целиком.

Второй способ — перебрать цифры через разряды. В числе 2,□ цифра добавляет к двум целым определённое количество десятых. Умножение на 0,5 превращает каждую десятую в 0,05. Если требуемое произведение равно 1,35, от исходных 2 × 0,5 = 1,00 необходимо ещё 0,35; это семь шагов по 0,05. Оба способа дают □ = 7.

Проверка здравого смысла: 2,7 × 0,5 — это половина 2,7, поэтому результат 1,35 меньше 2,7. Если при умножении положительного x на коэффициент 0,5 вы получили число больше x, ищите ошибку в переносе запятой или в выборе действия.

Ступень 1. Восемь точных равенств

Впишите вместо □ одну цифру. Должно получиться строгое равенство, без округления результата. Не забывайте проверять своё решение обратным умножением.

1. 2,□ × 0,5 = 1,35. Восстановите цифру.
2. 4,□ × 0,25 = 1,15. Восстановите цифру.
3. 1,2□ × 0,8 = 1,008. Восстановите цифру.
4. 3,□5 × 0,4 = 1,5. Восстановите цифру.
5. 0,□8 × 0,75 = 0,51. Восстановите цифру.
6. 5,0□ × 0,6 = 3,042. Восстановите цифру.
7. 6,□2 × 0,2 = 1,264. Восстановите цифру.
8. 8,1□ × 0,9 = 7,353. Восстановите цифру.

Развилка: ошибка или верное утверждение?

В следующих шести записях указан ответ ученика. Проверьте его подстановкой: если цифра неверна, найдите правильную. Если ответ верен, укажите проверочное произведение. Здесь требуется не просто назвать число, а диагностировать арифметическую ошибку.

9. 1,□ × 0,6 = 0,96; предложена цифра 5. Верно или ошибка?
10. 7,□ × 0,4 = 3,08; предложена цифра 7. Верно или ошибка?
11. 0,□6 × 0,5 = 0,38; предложена цифра 7. Верно или ошибка?
12. 2,□5 × 0,8 = 2,12; предложена цифра 5. Верно или ошибка?
13. 9,0□ × 0,25 = 2,2625; предложена цифра 5. Верно или ошибка?
14. 3,2□ × 0,75 = 2,445; предложена цифра 6. Верно или ошибка?

Ступень 2. Округлённый результат: все подходящие цифры

Теперь справа записан результат после округления, а не точное произведение. Восстановите все подходящие цифры. Нельзя брать только одну цифру наугад: несколько исходных дробей способны после умножения и округления дать одинаковую запись. Используется школьное правило округления положительных чисел.

15. Для 1,□ × 0,5 после округления до десятых получено 0,8. Перечислите все цифры □.
16. Для 4,□ × 0,2 после округления до десятых получено 0,9. Перечислите все цифры □.
17. Для 2,0□ × 0,75 после округления до сотых получено 1,55. Перечислите все цифры □.
18. Для 0,□4 × 0,6 после округления до сотых получено 0,38. Перечислите все цифры □.

Ключ с обратной проверкой

1. № 1: □ = 7. 2,7 × 0,5 = 1,35. Для обратной проверки можно разделить 1,35 на 0,5 и получить 2,7.
2. № 2: □ = 6. 4,6 × 0,25 = 1,15. Для обратной проверки можно разделить 1,15 на 0,25 и получить 4,6.
3. № 3: □ = 6. 1,26 × 0,8 = 1,008. Для обратной проверки можно разделить 1,008 на 0,8 и получить 1,26.
4. № 4: □ = 7. 3,75 × 0,4 = 1,5. Для обратной проверки можно разделить 1,5 на 0,4 и получить 3,75.
5. № 5: □ = 6. 0,68 × 0,75 = 0,51. Для обратной проверки можно разделить 0,51 на 0,75 и получить 0,68.
6. № 6: □ = 7. 5,07 × 0,6 = 3,042. Для обратной проверки можно разделить 3,042 на 0,6 и получить 5,07.
7. № 7: □ = 3. 6,32 × 0,2 = 1,264. Для обратной проверки можно разделить 1,264 на 0,2 и получить 6,32.
8. № 8: □ = 7. 8,17 × 0,9 = 7,353. Для обратной проверки можно разделить 7,353 на 0,9 и получить 8,17.
9. № 9: ошибка; □ = 6. Подстановка предложенной цифры 5 даёт 0,9, а условие требует 0,96. Правильная подстановка: 1,6 × 0,6 = 0,96.
10. № 10: верно; □ = 7. Подстановка предложенной цифры 7 даёт 3,08, а условие требует 3,08. Так как числа совпадают, исправление не нужно.
11. № 11: верно; □ = 7. Подстановка предложенной цифры 7 даёт 0,38, а условие требует 0,38. Так как числа совпадают, исправление не нужно.
12. № 12: ошибка; □ = 6. Подстановка предложенной цифры 5 даёт 2,04, а условие требует 2,12. Правильная подстановка: 2,65 × 0,8 = 2,12.
13. № 13: верно; □ = 5. Подстановка предложенной цифры 5 даёт 2,2625, а условие требует 2,2625. Так как числа совпадают, исправление не нужно.
14. № 14: верно; □ = 6. Подстановка предложенной цифры 6 даёт 2,445, а условие требует 2,445. Так как числа совпадают, исправление не нужно.
15. № 15: цифры 5, 6. 1,5 × 0,5 = 0,75; 1,6 × 0,5 = 0,8. Эти произведения округляются до 0,8; остальные цифры дают другой результат.
16. № 16: цифры 3, 4, 5, 6, 7. 4,3 × 0,2 = 0,86; 4,4 × 0,2 = 0,88; 4,5 × 0,2 = 0,9; 4,6 × 0,2 = 0,92; 4,7 × 0,2 = 0,94. Эти произведения округляются до 0,9; остальные цифры дают другой результат.
17. № 17: цифры 6, 7. 2,06 × 0,75 = 1,545; 2,07 × 0,75 = 1,5525. Эти произведения округляются до 1,55; остальные цифры дают другой результат.
18. № 18: цифры 6. 0,64 × 0,6 = 0,384. Эти произведения округляются до 0,38; остальные цифры дают другой результат.

Разбор типичных ошибок в маршруте

В заданиях 1–8 результат точный, поэтому единственная цифра находится делением или сравнением по разрядам. В заданиях 9–14 необходимо прежде всего проверить предложенный ответ; правильная цифра сама по себе не доказывает правильность вычисления. Если подстановка неверна, вычислите фактическое произведение и сравните его с требуемым. Если предложение неверно, нельзя исправлять правую часть равенства: исходное условие остаётся неизменным.

В заданиях 15–18 достаточно проверить десять кандидатов, потому что □ — одна цифра. Но гораздо быстрее сначала оценить возможное произведение: при коэффициенте 0,5 увеличение неизвестной десятой на 1 увеличивает результат на 0,05. По мере приближения к порогу округления записывайте возможные значения до и после него. Если результат задан с точностью до сотой, интервалы округления имеют ширину 0,01.

При делении на коэффициент 0,25 удобно помнить, что деление на четверть равносильно умножению на четыре. При коэффициенте 0,75 можно разложить его на три четверти, если уже изучены четверти числа. Эти рассуждения проверяют арифметику, но не заменяют точного контроля разрядов. Округляйте только в тех заданиях, где это прямо указано, иначе вы можете потерять нужную цифру.

Критерий успешного выполнения: верно найдены все отдельные цифры в точных равенствах, правильно обнаружены ошибки в шести предложенных решениях, а в последних четырёх заданиях перечислены все допустимые цифры. Если ошибка только в округлении, полезно повторить пороги 0,05 для десятых и 0,005 для сотых. Если ошибки есть уже в точных равенствах, повторите обратное действие к умножению.